📐 广东专升本高等数学 · 公式速查卡

适用考试：广东省普通高等学校专升本招生考试 · 高等数学
版本：2026 版 · 超全复习公式手册
用法：⭐ 越多表示考查频率越高，建议优先记忆

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第一章 函数与极限

1.1 基本初等函数

函数类型	表达式	定义域	备注
幂函数	$$y = x^{\mu} \quad (\mu \in \mathbb{R})$$	视 $\mu$ 而定	$\mu >0$ 过 $(0,0)$
指数函数	$$y = a^{x} \quad (a>0, a\neq 1)$$	$\mathbb{R}$	$a^x>0$
对数函数	$$y = \log_{a}x \quad (a>0, a\neq 1)$$	$(0,+\mathrm{\infty })$	过 $(1,0)$
三角函数	$$y = \sin x,\ \cos x,\ \tan x$$	视具体函数	周期函数
反三角函数	$$y = \arcsin x,\ \arccos x,\ \arctan x$$	视具体函数	有界函数

1.2 极限运算法则 ⭐

极限的四则运算（设 $limf(x)=A,limg(x)=B$）：

$$lim[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$$$$lim[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$$$$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$$

复合函数极限：若 $\underset{x\to x_0}{lim}\phi (x)=u_0$，且 $f(u)$ 在 $u_0$ 连续，则

$$\underset{x\to x_0}{lim}f[\phi (x)]=f[\underset{x\to x_0}{lim}\phi (x)]=f(u_0)$$

💡 使用提示：代入前先检查分母是否为零，零不能直接代入。

1.3 两个重要极限 ⭐⭐⭐

第一个重要极限：

$$\boxed{{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1}}$$

推广形式：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin kx}{kx}=1,\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$$

第二个重要极限：

$$\boxed{{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e}}$$

等价形式：

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e,\underset{x\to 0}{lim}(1+kx{)}^{\frac{1}{x}}=e^k$$

💡 使用提示：见到 $\frac{\sin ◻}{◻}\to 1$（$◻\to 0$）或 $(1+\frac{1}{◻}{)}^{◻}\to e$（$◻\to \mathrm{\infty }$）时立即联想。

1.4 无穷小与等价无穷小 ⭐⭐⭐

定义：$lim\alpha (x)=0$，则 $\alpha (x)$ 为无穷小。

等价无穷小替换（$x\to 0$ 时，$\alpha (x)\sim \beta (x)$ 表示 $lim\frac{\alpha }{\beta }=1$）：

原式	等价替换	条件
$$\sin x \sim x$$	$$x$$	$x\to 0$
$$\tan x \sim x$$	$$x$$	$x\to 0$
$$\arcsin x \sim x$$	$$x$$	$x\to 0$
$$\arctan x \sim x$$	$$x$$	$x\to 0$
$$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}$$	$$\frac{1}{2}x^{2}$$	$x\to 0$
$$\ln(1+x) \sim x$$	$$x$$	$x\to 0$
$$e^{x} - 1 \sim x$$	$$x$$	$x\to 0$
$$a^{x} - 1 \sim x\ln a$$	$$x\ln a$$	$x\to 0$
$$(1+x)^{\alpha} - 1 \sim \alpha x$$	$$\alpha x$$	$x\to 0$
$$\sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \frac{x}{n}$$	$$\frac{x}{n}$$	$x\to 0$

💡 使用提示：乘除因子可直接替换，加减法中慎用（需验证替换后分子分母不同阶）。

1.5 无穷小的比较

设 $lim\alpha =0,lim\beta =0$，且 $lim\frac{\beta }{{\alpha }^k}=C\ne 0$：

条件	结论	含义
$lim\frac{\beta }{\alpha }=0$	$\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小	$\beta =o(\alpha )$
$lim\frac{\beta }{\alpha }=\mathrm{\infty }$	$\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小	—
$lim\frac{\beta }{\alpha }=C\ne 0$	$\beta$ 与 $\alpha$ 同阶	—
$lim\frac{\beta }{\alpha }=1$	$\beta$ 与 $\alpha$ 等价	$\beta \sim \alpha$

1.6 函数的连续性

定义：$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $⟺\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$

间断点分类：

类型	条件	示例
🟢 可去间断点	左极限 = 右极限 ≠ 函数值	$y=\frac{x^2-1}{x-1}$
🟡 跳跃间断点	左极限 ≠ 右极限	$y = \frac{
🔴 无穷间断点	极限为 $\mathrm{\infty }$	$y=\frac{1}{x}$
🔴 振荡间断点	极限不存在且振荡	$y=\sin \frac{1}{x}$

闭区间上连续函数的性质 ⭐：

• 最值定理：连续函数在闭区间 $[a,b]$ 上有最大值和最小值
• 介值定理：介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任何值都能取到
• 零点定理：若 $f(a)\cdot f(b)<0$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$ ⭐⭐

💡 使用提示：证明方程有根时首选零点定理。

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第二章 一元函数微分学

2.1 导数定义 ⭐⭐

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

左导数：$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

右导数：$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

💡 使用提示：可导 $⟺$ 左导数 = 右导数；可导必连续，连续不一定可导。

2.2 基本求导公式 ⭐⭐⭐

函数	导数	备注
$C$（常数）	$0$	—
$x^{\mu }$	$\mu x^{\mu -1}$	幂函数
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	${\sec }^{2}x$	或 $1/{\cos }^{2}x$
$\cot x$	$-{\csc }^{2}x$	—
$\sec x$	$\sec x\tan x$	—
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	—
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	—
$\mathrm{arccot}x$	$-\frac{1}{1+x^2}$	—
$a^x$	$a^x\ln a$	$(e^x{)}^{\prime }=e^x$
${\log }_{a}x$	$\frac{1}{x\ln a}$	$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

2.3 求导法则 ⭐⭐⭐

四则运算法则：

$$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$$$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\text{（乘法法则）}$$$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\text{（除法法则）}$$

链式法则（复合函数求导） ⭐⭐⭐：

$$\boxed{{\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}}\text{或}f[g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

💡 使用提示：从外到内逐层求导，每层"剥洋葱"。

反函数求导：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

隐函数求导：方程两边同时对 $x$ 求导，$y$ 视为 $y(x)$。

参数方程求导：

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)},\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{{\psi }^{″}(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{″}(t)}{[{\phi }^{\prime }(t){]}^3}$$

2.4 高阶导数

莱布尼茨公式 ⭐：

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}$$

常用高阶导数：

函数	$n$ 阶导数
$(\sin x{)}^{(n)}$	$\sin (x+\frac{n\pi }{2})$
$(\cos x{)}^{(n)}$	$\cos (x+\frac{n\pi }{2})$
$(e^x{)}^{(n)}$	$e^x$
$(a^x{)}^{(n)}$	$a^x(\ln a{)}^n$
$[\ln (1+x){]}^{(n)}$	$(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n}$
$(x^{\mu }{)}^{(n)}$	$\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n}$

2.5 微分

定义：$dy=f^{\prime }(x)dx$

微分近似计算：

$$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$$

💡 使用提示：用于小增量下的近似估算。

2.6 中值定理 ⭐⭐⭐

定理	条件	结论
罗尔定理	$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，$f(a)=f(b)$	存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$
拉格朗日中值定理	$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导	存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
柯西中值定理	$f,g$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，$g^{\prime }(x)\ne 0$	存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

💡 使用提示：证明存在 $\xi$ 使某等式成立时，构造辅助函数后用罗尔定理。

2.7 洛必达法则 ⭐⭐⭐

$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型：

$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}(\text{若极限存在或为无穷大})$$

其他未定式转化：

类型	转化方法
$0\cdot \mathrm{\infty }$	$\frac{0}{1/\mathrm{\infty }}$ 或 $\frac{\mathrm{\infty }}{1/0}$
$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$	通分或有理化
$0^0,1^{\mathrm{\infty }},{\mathrm{\infty }}^0$	取 $\ln$ 后用洛必达

💡 使用提示：每次使用前必须验证是否为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型；可连续多次使用。

2.8 泰勒公式 ⭐⭐

佩亚诺余项：

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o[(x-x_0{)}^n]$$

麦克劳林公式（$x_0=0$）：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

常用麦克劳林展开 ⭐：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$$$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$$$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$$$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+o(x^n)$$$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

💡 使用提示：求 $x\to 0$ 极限时展开到分子分母最低阶即可。

2.9 函数单调性与极值 ⭐⭐⭐

单调性判别：

• $f^{\prime }(x)>0$ 在区间内 $\Rightarrow$ $f(x)$ 单调递增
• $f^{\prime }(x)<0$ 在区间内 $\Rightarrow$ $f(x)$ 单调递减

极值判别法（一阶导数）：

1. 求 $f^{\prime }(x)=0$ 的驻点及不可导点
2. 左正右负 $\Rightarrow$ 极大值；左负右正 $\Rightarrow$ 极小值

极值判别法（二阶导数）：

• 若 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{″}(x_0)<0$ $\Rightarrow$ $f(x_0)$ 为极大值
• 若 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{″}(x_0)>0$ $\Rightarrow$ $f(x_0)$ 为极小值

凹凸性与拐点：

• $f^{″}(x)>0$ $\Rightarrow$ 凹（下凸）
• $f^{″}(x)<0$ $\Rightarrow$ 凸（上凸）
• $f^{″}(x_0)=0$ 且两侧异号 $\Rightarrow$ $(x_0,f(x_0))$ 为拐点

💡 使用提示：求极值时先找驻点，再用二阶导数判别；若二阶导为 0 则用一阶导数法。

2.10 渐近线 ⭐

类型	条件	方程
水平渐近线	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=C$	$y=C$
垂直渐近线	$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$	$x=x_0$
斜渐近线	$a=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-ax]$	$y=ax+b$

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第三章 一元函数积分学

3.1 不定积分基本公式 ⭐⭐⭐

基本积分表：

$$\int kdx=kx+C$$$$\int x^{\mu }dx=\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C(\mu \ne -1)$$$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,\int e^{x}dx=e^x+C$$$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$$$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$$$$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$$$$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$$$$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$$$$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$$$$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$$$$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$$$$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)$$$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C(a>0)$$$$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$$

3.2 积分法则 ⭐⭐⭐

线性性质：

$$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

换元积分法 ⭐⭐⭐：

• 第一类换元（凑微分法）：

$$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=\int f(u)du(u=\phi (x))$$

• 第二类换元（去根号法）：

$$\int f(x)dx=\int f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)dt(x=\psi (t))$$

常用凑微分形式：

凑微分	变换
$dx=\frac{1}{a}d(ax+b)$	$u=ax+b$
$xdx=\frac{1}{2}d(x^2)$	$u=x^2$
$\frac{1}{x}dx=d(\ln x)$	$u=\ln x$
$\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2d(\sqrt{x})$	$u=\sqrt{x}$
$e^{x}dx=d(e^x)$	$u=e^x$
$\sin xdx=-d(\cos x)$	$u=\cos x$
$\cos xdx=d(\sin x)$	$u=\sin x$
${\sec }^{2}xdx=d(\tan x)$	$u=\tan x$

三角代换 ⭐：

被积函数含	代换	微分
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$dx=a\cos tdt$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t$	$dx=a{\sec }^{2}tdt$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$	$dx=a\sec t\tan tdt$

分部积分法 ⭐⭐⭐：

$$\boxed{{\displaystyle \int udv=uv-\int vdu}}$$

选择 $u$ 的优先级（LIATE 规则）：

$$\boxed{{\displaystyle \text{反三角函数}>\text{对数函数}>\text{幂函数}>\text{指数函数}>\text{三角函数}}}$$

💡 使用提示：把好求的凑成 $dv$，把好求导的选为 $u$。

3.3 有理函数积分 ⭐

有理函数拆分：$\frac{P(x)}{Q(x)}$，分母因式分解后：

分母因子	部分分式
$x-a$	$\frac{A}{x-a}$
$(x-a{)}^k$	$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(x-a{)}^k}$
$x^2+px+q$（无实根）	$\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$
$(x^2+px+q{)}^k$	多个分式之和

3.4 定积分定义 ⭐⭐

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

几何意义：曲边梯形面积（$x$ 轴上方为正，下方为负）。

3.5 微积分基本定理 ⭐⭐⭐

牛顿-莱布尼茨公式：

$$\boxed{{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}}$$

其中 $F^{\prime }(x)=f(x)$。

变上限积分求导 ⭐⭐⭐：

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

推广形式：

$$\frac{d}{dx}{\int }_{\phi (x)}^{\psi (x)}f(t)dt=f[\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)-f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)$$

3.6 定积分的性质 ⭐⭐

性质	公式
线性	${\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$
区间可加性	${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$
保号性	若 $f(x)\ge 0$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$
估值定理	$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$
积分中值定理	存在 $\xi \in [a,b]$ 使 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

奇偶性 ⭐⭐：

• $f(x)$ 为奇函数 $\Rightarrow {\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$
• $f(x)$ 为偶函数 $\Rightarrow {\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

周期性：若 $f(x+T)=f(x)$，则 ${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$

3.7 定积分的换元与分部 ⭐⭐⭐

换元公式：

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$$

换元必须换限，上限对上限，下限对下限。

分部积分公式：

$${\int }_a^{b}udv={uv|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

3.8 反常积分 ⭐

无穷限反常积分：

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

无界函数反常积分（瑕积分）：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx(x=a\text{ 为瑕点})$$

收敛判别：

• ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}dx$：$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散
• ${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx$：$p<1$ 收敛，$p\ge 1$ 发散

3.9 定积分的应用 ⭐⭐

平面图形面积：

• 直角坐标：$A={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$
• 极坐标：$A=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }[r(\theta ){]}^{2}d\theta$

旋转体体积 ⭐：

• 绕 $x$ 轴：$V_x=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$
• 绕 $y$ 轴：$V_y=2\pi {\int }_a^{b}x|f(x)|dx$（柱壳法）

曲线弧长：

• 直角坐标：$s={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$
• 参数方程：$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[{\phi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt$
• 极坐标：$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$

旋转体侧面积：

$$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

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第四章 向量与空间几何

4.1 向量运算 ⭐⭐

向量表示：$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$

模：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

点积（数量积）：

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta =a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

叉积（向量积） ⭐：

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$$

混合积：

$$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$$

几何意义：

• 点积 $=0$ $⟺$ 垂直
• 叉积方向垂直于 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 所在平面，模为平行四边形面积
• 混合积 $=0$ $⟺$ 三向量共面

4.2 平面方程 ⭐⭐

形式	方程	说明
点法式	$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$	法向量 $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$
一般式	$Ax+By+Cz+D=0$	法向量 $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$
截距式	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$	$a,b,c$ 为截距

点到平面的距离：

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

4.3 空间直线 ⭐⭐

形式	方程	说明
对称式	$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$	方向向量 $\overrightarrow{s}=(m,n,p)$
参数式	$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array}$	$t$ 为参数
一般式	$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$	两平面交线

直线与直线夹角：$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{s_1}\cdot \overrightarrow{s_2}|}{|\overrightarrow{s_1}||\overrightarrow{s_2}|}$

直线与平面夹角：$\sin \phi =\frac{|\overrightarrow{s}\cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{s}||\overrightarrow{n}|}$

4.4 空间曲面 ⭐

曲面	方程	形状
球面	$x^2+y^2+z^2=R^2$	球心在原点
椭球面	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	椭球
旋转抛物面	$z=x^2+y^2$	开口向上
圆锥面	$z^2=x^2+y^2$	顶角为 ${90}^{\circ }$
双曲抛物面	$z=xy$	马鞍面
圆柱面	$x^2+y^2=R^2$	母线平行 $z$ 轴

空间曲线在坐标面上的投影：消去一个变量得到投影柱面方程。

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第五章 多元函数

5.1 偏导数 ⭐⭐

定义：

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }y}$$

高阶偏导数：

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f_{xx},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=f_{yy},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=f_{xy}$$

混合偏导 $f_{xy}=f_{yx}$ 当二阶连续偏导时成立。

5.2 全微分 ⭐⭐

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=f_{x}dx+f_{y}dy$$

5.3 复合函数求导 ⭐⭐⭐

链式法则：

• 若 $z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)$：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$$

• 若 $z=f(u,v),u=u(x),v=v(x)$（全导数）：

$$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{du}{dx}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dx}$$

5.4 隐函数求导 ⭐⭐

一元隐函数：$F(x,y)=0$，则

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$

二元隐函数：$F(x,y,z)=0$，则

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

5.5 方向导数与梯度 ⭐

方向导数：

$$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{l}}=f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta +f_z\cos \gamma$$

其中 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为方向余弦。

梯度：

$$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$$

梯度方向是方向导数最大的方向，方向导数为梯度在该方向上的投影。

5.6 多元函数极值 ⭐⭐⭐

无条件极值：

1. 求驻点：解 $\{\begin{array}{l}{f}_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)=0\end{array}$
2. 判别：记 $A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}$，$\mathrm{\Delta }=AC-B^2$
   • $\mathrm{\Delta }>0$ 且 $A>0$ $\Rightarrow$ 极小值
   • $\mathrm{\Delta }>0$ 且 $A<0$ $\Rightarrow$ 极大值
   • $\mathrm{\Delta }<0$ $\Rightarrow$ 不是极值
   • $\mathrm{\Delta }=0$ $\Rightarrow$ 需进一步判断

条件极值（拉格朗日乘数法） ⭐⭐：

求 $z=f(x,y)$ 在约束 $\phi (x,y)=0$ 下的极值：

$$L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$$

解方程组：

$$\{\begin{array}{l}{L}_x=f_x+\lambda {\phi }_x=0\\ L_y=f_y+\lambda {\phi }_y=0\\ L_{\lambda }=\phi (x,y)=0\end{array}$$

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第六章 重积分与曲线积分

6.1 二重积分 ⭐⭐

直角坐标：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy\text{或}{\int }_c^{d}dy{\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$$

极坐标 ⭐：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$$

极坐标积分次序：

$${\iint }_{D}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

💡 使用提示：被积函数含 $x^2+y^2$ 或积分区域为圆域时，优先用极坐标。

6.2 三重积分 ⭐

直角坐标（先一后二法）：

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dV={\iint }_{D_{xy}}dxdy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$

柱面坐标 ⭐：

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}dV=rdrd\theta dz$$

球面坐标：

$$\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \end{array}dV=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$$

6.3 重积分的应用

应用	二重积分	三重积分
面积/体积	$S={\iint }_{D}dxdy$	$V={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}dV$
质量	$m={\iint }_D\rho (x,y)dxdy$	$m={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\rho (x,y,z)dV$
质心 $x$ 坐标	$\overline{x}=\frac{{\iint }_{D}x\rho dxdy}{m}$	$\overline{x}=\frac{{\iiint }_{\mathrm{\Omega }}x\rho dV}{m}$
转动惯量 $I_x$	${\iint }_D{y}^2\rho dxdy$	${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}(y^2+z^2)\rho dV$

6.4 曲线积分 ⭐

第一类曲线积分（对弧长）：

$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t),\psi (t)]\sqrt{[{\phi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt$$

第二类曲线积分（对坐标）：

$${\int }_{L}Pdx+Qdy={\int }_{\alpha }^{\beta }[P\cdot {\phi }^{\prime }(t)+Q\cdot {\psi }^{\prime }(t)]dt$$

格林公式 ⭐⭐：

$$\boxed{{\displaystyle {\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\oint }_{L}Pdx+Qdy}}$$

L 为 D 的正向边界（逆时针方向）。

曲线积分与路径无关条件：

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}(\text{在单连通区域内})$$

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第七章 常微分方程

7.1 一阶微分方程 ⭐⭐⭐

可分离变量：

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\Rightarrow \int \frac{dy}{h(y)}=\int g(x)dx+C$$

齐次方程：

$$\frac{dy}{dx}=\phi \left(\frac{y}{x}\right)\Rightarrow \text{令 }u=\frac{y}{x},y=ux,\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$

一阶线性微分方程 ⭐⭐⭐：

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

通解公式：

$$\boxed{{\displaystyle y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)}}$$

齐次解：$y=C{e}^{-\int P(x)dx}$

伯努利方程：

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$$

解法：令 $z=y^{1-n}$，化为一阶线性方程。

7.2 可降阶的高阶方程 ⭐

类型	形式	解法
$y^{(n)}=f(x)$	直接积分	逐次积分 $n$ 次
$y^{″}=f(x,y^{\prime })$	不含 $y$	令 $p=y^{\prime }$，$p^{\prime }=f(x,p)$
$y^{″}=f(y,y^{\prime })$	不含 $x$	令 $p=y^{\prime }$，$y^{″}=p\frac{dp}{dy}$

7.3 二阶线性微分方程 ⭐⭐⭐

齐次方程：

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$

非齐次方程：

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$$

解的结构：

• 齐次通解 $=C_1{y}_1+C_2{y}_2$（$y_1,y_2$ 为线性无关特解）
• 非齐次通解 $=$ 齐次通解 $+$ 非齐次特解

7.4 常系数线性微分方程 ⭐⭐⭐

齐次：$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$

特征方程：$r^2+pr+q=0$

判别式	特征根	通解
$\mathrm{\Delta }>0$	两不等实根 $r_1\ne r_2$	$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
$\mathrm{\Delta }=0$	重根 $r_1=r_2=r$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
$\mathrm{\Delta }<0$	共轭复根 $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

非齐次：$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

特解形式（待定系数法） ⭐⭐：

$f(x)$ 形式	特解形式
$P_m(x)$	$y^{\ast }=x^k\cdot Q_m(x)$
$P_m(x)e^{\alpha x}$	$y^{\ast }=x^k\cdot Q_m(x)e^{\alpha x}$
$e^{\alpha x}[A\cos \beta x+B\sin \beta x]$	$y^{\ast }=x^k\cdot e^{\alpha x}(M\cos \beta x+N\sin \beta x)$

其中 $k$ 为 $\alpha$（或 $0$）作为特征根的重数。

💡 使用提示：先求齐次解，再根据 $f(x)$ 形式设特解，代回原方程确定系数。

7.5 欧拉方程 ⭐

$$x^2{y}^{″}+px{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

解法：令 $x=e^t$（或 $x>0$ 时），则 $x^k{y}^{(k)}$ 化为 $D(D-1)\cdots (D-k+1)y$，其中 $D=\frac{d}{dt}$。

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第八章 无穷级数

8.1 常数项级数 ⭐⭐

定义：$S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=S$ 则级数收敛。

收敛的必要条件：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$$

若通项不趋于 0，则级数必发散。

8.2 正项级数审敛法 ⭐⭐⭐

比较审敛法：

• 若 $0\le u_n\le v_n$，$\sum v_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 收敛
• 若 $0\le v_n\le u_n$，$\sum v_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 发散

比较审敛法的极限形式：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_n}{v_n}=l$$

• $0<l<+\mathrm{\infty }$：同敛散
• $l=0$：$v_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $u_n$ 收敛
• $l=+\mathrm{\infty }$：$v_n$ 发散 $\Rightarrow$ $u_n$ 发散

常用比较对象：

• $p$-级数：$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$，$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散
• 几何级数：$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^n$，$|r|<1$ 收敛，$|r|\ge 1$ 发散

比值审敛法（达朗贝尔） ⭐⭐⭐：

$$\rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}$$

• $\rho <1$ $\Rightarrow$ 收敛
• $\rho >1$ $\Rightarrow$ 发散
• $\rho =1$ $\Rightarrow$ 失效

根值审敛法（柯西）：

$$\rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{u_n}$$

• $\rho <1$ $\Rightarrow$ 收敛
• $\rho >1$ $\Rightarrow$ 发散
• $\rho =1$ $\Rightarrow$ 失效

积分审敛法：若 $f(x)$ 在 $[1,+\mathrm{\infty })$ 上连续单调递减且 $f(n)=u_n$，则

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n\text{ 与 }{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx\text{ 同敛散}$$

8.3 交错级数与绝对收敛 ⭐

莱布尼茨审敛法：

若 $u_n$ 单调递减且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$，则交错级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{u}_n$ 收敛。

绝对收敛与条件收敛：

• $\sum |u_n|$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 绝对收敛
• $\sum u_n$ 收敛但 $\sum |u_n|$ 发散 $\Rightarrow$ 条件收敛

8.4 幂级数 ⭐⭐⭐

标准形式：

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n$$

收敛半径与收敛域：

$$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\text{或}R=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\sqrt[n]{|a_n|}}$$

• $|x-x_0|<R$：绝对收敛
• $|x-x_0|>R$：发散
• 端点 $x=x_0\pm R$ 需单独判断

幂级数的运算：

在收敛区间内可逐项求导和逐项积分：

$${\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{x}^{n-1}$$$${\int }_0^x\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{t}^n\right)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$$

8.5 函数展开为幂级数 ⭐⭐

麦克劳林级数：

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

常用展开式 ⭐⭐：

$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n,|x|<1$$$$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n,|x|<1$$$$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!},x\in \mathbb{R}$$$$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in \mathbb{R}$$$$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in \mathbb{R}$$$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n},-1<x\le 1$$$$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},|x|\le 1$$$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n,|x|<1$$

8.6 傅里叶级数 ⭐

周期为 $2\pi$ 的函数：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

傅里叶系数：

$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$$$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=1,2,\dots )$$$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$

周期为 $2l$ 的函数：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$$

系数：

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

狄利克雷收敛定理：在间断点处，傅里叶级数收敛于左右极限的平均值。

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📋 附录：高频公式速查表

⭐⭐⭐ 必考公式（每年必考）

编号	公式	章节
1	$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$	1.3
2	$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$	1.3
3	等价无穷小代换（$\sin x\sim x,1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$ 等）	1.4
4	洛必达法则 $lim\frac{f}{g}=lim\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$	2.7
5	链式法则 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$	2.3
6	分部积分 $\int udv=uv-\int vdu$	3.2
7	牛顿-莱布尼茨 ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$	3.5
8	变上限积分求导 $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$	3.5
9	一阶线性微分方程通解 $y=e^{-\int Pdx}(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C)$	7.1
10	二阶常系数齐次微分方程求解	7.4
11	比值审敛法 $\rho =lim\frac{u_{n+1}}{u_n}$	8.2
12	多元函数极值判别（$AC-B^2$）	5.6

⭐⭐ 高频公式

编号	公式	章节
13	格林公式 ${\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\oint }_{L}Pdx+Qdy$	6.4
14	拉格朗日乘数法	5.6
15	定积分换元法（换元必换限）	3.7
16	旋转体体积 $V_x=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$	3.9
17	幂级数收敛半径 $R = \lim	\frac{a_n}{a_{n+1}}
18	极坐标二重积分 $\iint f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$	6.1
19	隐函数求导 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$	5.4
20	泰勒公式/麦克劳林展开	2.8

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📌 复习建议：

1. 先背 ⭐⭐⭐ 必考公式，确保每题都能快速写出
2. 再掌握 ⭐⭐ 高频公式，用于解答题
3. 最后熟悉 ⭐ 一般公式，应对冷门考点
4. 极限、导数、积分是三大基石，务必反复练习
5. 考试时带好此表，考前快速过一遍

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本速查卡由 DeepSeek 整理，仅供参考。建议结合历年真题和教材使用。