5.1 多元函数的基本概念（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：二元函数就是一张"地形图"

二元函数 $z=f(x,y)$ 就像一张地形图——$(x,y)$ 是地图上的位置坐标，$z$ 是海拔高度。

• 定义域从一维区间变成了二维区域
• 图像从曲线变成了曲面

和一元的区别

对比	一元 $y=f(x)$	二元 $z=f(x,y)$
定义域	区间	平面区域
图像	曲线	曲面
极限路径	左右两个方向	无穷多个方向

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二、考点全爆破

二元函数定义域

$$z=f(x,y),(x,y)\in D\subset {\mathbb{R}}^2$$

求定义域：和一元的规则一样（分母≠0、根号≥0、对数真数>0），但要处理两个变量。

二元函数极限

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=L$$

关键区别：一元极限只看左右两个方向，二元极限要沿所有路径都趋于同一个值。

二元函数连续

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

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三、核心难点：二元极限"不存在"的证明

套路：找两条不同路径，极限不同

示例：证明 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}$ 不存在。

沿 $y=kx$：${\displaystyle \frac{k{x}^2}{x^2+k^2{x}^2}}={\displaystyle \frac{k}{1+k^2}}$。 沿不同 $k$，极限不同（$k=0$ 时 $0$，$k=1$ 时 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$）。 路径不同极限不同 → 极限不存在。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：只沿 $x$ 轴和 $y$ 轴验证

只验证 $y=0$ 和 $x=0$ 两条路径不够！$y=kx$ 一族路径都要一致才行。

坑 2：二元极限存在要求"所有路径"

只要找到两条路径极限不同，就能证明极限不存在。这是最常考的反证法。

坑 3：定义域少考虑一个变量

$z=\ln (x+y-1)$ 的定义域是 $x+y>1$（平面区域），不是只限制 $x$ 或只限制 $y$。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（求定义域）

求 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 的定义域。

题型定位：二元函数 → 定义域 识别特征：根号 手把手步骤：

1. $4-x^2-y^2\ge 0$，即 $x^2+y^2\le 4$
2. 圆盘区域 结论：$\boxed{{\displaystyle x^2+y^2\le 4\text{（半径}2\text{的圆盘）}}}$

例 2（求定义域）

求 $z=\ln (x+y-1)$ 的定义域。

题型定位：二元函数 → 定义域 识别特征：对数 手把手步骤：

1. $x+y-1>0$，即 $x+y>1$
2. 直线 $x+y=1$ 上方的半平面 结论：$\boxed{{\displaystyle x+y>1}}$

例 3（证明极限不存在）

证明 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}$ 不存在。

题型定位：二元极限 → 不存在证明 识别特征：分母 $x^2+y^2$手把手步骤：

1. 沿 $y=0$：${\displaystyle \frac{0}{x^2}}=0$
2. 沿 $y=x$：${\displaystyle \frac{x^2}{2x^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
3. 两条路径极限不同 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{极限不存在}}}$

例 4（计算二元极限）

求 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^{2}y}{x^2+y^2}}$。

题型定位：二元极限 → 计算 识别特征：分子次数比分母高 手把手步骤：

1. $0\le \left|{\displaystyle \frac{x^{2}y}{x^2+y^2}}\right|\le |x|$（夹逼）
2. $|x|\to 0$，极限为 0 结论：$\boxed{{\displaystyle 0}}$

例 5（连续性判断）

判断 $f(x,y)={\displaystyle \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+1}}$ 是否连续。

题型定位：二元函数 → 连续性 识别特征：分母恒大于 0 手把手步骤：

1. 分母 $x^2+y^2+1>0$ 恒成立
2. 初等函数在定义域内连续 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{处处连续}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 二元极限存在的条件是（ ） A. 沿 $x$ 轴趋于 $L$ B. 沿 $y$ 轴趋于 $L$ C. 沿所有路径趋于 $L$ D. 沿任意两条路径趋于 $L$

2. $z=\sqrt{x^2+y^2-1}$ 的定义域是（ ） A. 圆 B. 圆外 C. 圆内 D. 全平面

填空题

3. 证明二元极限不存在，找 ______ 条路径即可。

4. $z=\ln (x^2+y^2)$ 的定义域是 ______。

解答题

5. 求 $\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}$，若存在求值，否则证明不存在。

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答案与详细解析

1. 答案：C2. 答案：B（$x^2+y^2\ge 1$，单位圆外部） 3. 答案：$2$（两条路径极限不同即可） 4. 答案：$x^2+y^2>0$（除原点外全平面）5. 答案：不存在（沿 $y=0$ 得 $0$，沿 $y=x$ 得 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$，不同）