2.3 基本导数公式和四则运算求导法则（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：九九乘法表

导数公式就像九九乘法表——背得滚瓜烂熟，做题才能快到飞起。

四则运算法则记口诀：

• 乘法：前导后不导 + 前不导后导
• 除法：上导下不导 - 上不导下导，除以分母平方

为什么除法法则分子是减号？

因为除法可以看成 $u\cdot {\displaystyle \frac{1}{v}}$，用乘法法则展开整理就得到那个减号——别记反了。

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二、考点全爆破

基本求导公式表（必背！）

函数	导数	函数	导数
$C$	$0$	$e^x$	$e^x$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$	$a^x$	$a^x\ln a$
${\displaystyle \frac{1}{x}}$	$-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$	$\ln x$	${\displaystyle \frac{1}{x}}$
$\sqrt{x}$	${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$	${\log }_{a}x$	${\displaystyle \frac{1}{x\ln a}}$
$\sin x$	$\cos x$	$\arcsin x$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\arccos x$	$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$
$\tan x$	${\sec }^{2}x$	$\arctan x$	${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$
$\cot x$	$-{\csc }^{2}x$

四则运算法则

法则	公式	口诀
加减	$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$	各求各的
数乘	$(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }$	常数提出去
乘法	$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$	前导后不导加前不导后导
除法	$({\displaystyle \frac{u}{v}}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$	上导下不导减上不导下导除以分母平方

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三、核心难点：先化简再求导

套路：分式先化简，省一半计算量

示例：求 $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-1}}$ 的导数。

直接套除法法则很繁琐。先化简：$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1+2}{x^2-1}}=1+{\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}$。 求导：$f^{\prime }(x)=0+2\cdot {\displaystyle \frac{-2x}{(x^2-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{-4x}{(x^2-1{)}^2}}$。 省了至少一半计算量！

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：$\tan x$ 导数写错

$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$，不是 $\sec x$！同理 $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$。

坑 2：除法法则减号写反

$({\displaystyle \frac{u}{v}}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$，中间是减号，不是加号。记成"上导下不导减上不导下导"。

坑 3：$(\ln x{)}^{\prime }$ 写成 ${\displaystyle \frac{1}{|x|}}$

$(\ln x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$（定义域 $x>0$），不是 ${\displaystyle \frac{1}{|x|}}$。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（乘法法则）

求 $f(x)=x^2\ln x$ 的导数。

题型定位：四则运算 → 乘法法则 识别特征：两个函数相乘 手把手步骤：

1. 前导后不导：$(x^2{)}^{\prime }\ln x=2x\ln x$
2. 前不导后导：$x^2(\ln x{)}^{\prime }=x^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}=x$
3. 相加：$2x\ln x+x$结论：$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)=2x\ln x+x}}$

例 2（除法法则）

求 $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x+1}}$ 的导数。

题型定位：四则运算 → 除法法则 识别特征：分式结构 手把手步骤：

1. 上导下不导：$1\cdot (x+1)=x+1$
2. 上不导下导：$x\cdot 1=x$
3. 相减除以分母平方：${\displaystyle \frac{(x+1)-x}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}}}$

例 3（先化简再求导）

求 $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}$ 的导数。

题型定位：四则运算 → 化简技巧 识别特征：假分式 手把手步骤：

1. 化简：${\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}=x-1+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$
2. 求导：$1+0-{\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}}}}$避坑反思：假分式先做多项式除法，再求导更简单。

例 4（三角混合）

求 $f(x)=x\sin x$ 的导数。

题型定位：四则运算 → 乘法法则 识别特征：幂函数乘三角函数 手把手步骤：

1. 前导后不导：$1\cdot \sin x=\sin x$
2. 前不导后导：$x\cos x$
3. 相加 结论：$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x}}$

例 5（综合除法）

求 $f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x}}$ 的导数。

题型定位：四则运算 → 除法法则 识别特征：指数除幂函数 手把手步骤：

1. 上导下不导：$e^x\cdot x=x{e}^x$
2. 上不导下导：$e^x\cdot 1=e^x$
3. 相减除以分母平方：${\displaystyle \frac{x{e}^x-e^x}{x^2}}={\displaystyle \frac{e^x(x-1)}{x^2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{e^x(x-1)}{x^2}}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $(\tan x{)}^{\prime }=$（ ） A. $\sec x$ B. ${\sec }^{2}x$ C. ${\csc }^{2}x$ D. $-{\sec }^{2}x$

2. $({\displaystyle \frac{u}{v}}{)}^{\prime }=$（ ） A. ${\displaystyle \frac{u^{\prime }v+u{v}^{\prime }}{v^2}}$ B. ${\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$ C. ${\displaystyle \frac{u{v}^{\prime }-u^{\prime }v}{v^2}}$ D. ${\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v}}$

填空题

3. $(\ln x{)}^{\prime }=$ ______。

4. 求 $f(x)=x\ln x$ 的导数：______。

解答题

5. 求 $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}$ 的导数。

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答案与详细解析

1. 答案：B（${\sec }^{2}x$） 2. 答案：B3. 答案：${\displaystyle \frac{1}{x}}$4. 答案：$\ln x+1$（$1\cdot \ln x+x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln x+1$） 5. 答案：$1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$（化简：$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$，求导 $1-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$）