2.2 单侧导数以及可导与连续的关系（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：能停住不代表能平稳滑过去

可导一定连续，但连续不一定可导。

好比滑雪：你能在某个点稳稳地停住（连续），但不一定能平稳地滑过去（可导）。$y=|x|$ 在 $x=0$ 处就是"能停住但滑不过去"——它是个尖角，左滑和右滑的方向不一样。

几何直观：尖角 vs 平滑

曲线形状	连续？	可导？
平滑曲线	✅	✅
尖角（如 $	x	$）
断开的曲线	❌	❌

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二、考点全爆破

单侧导数

• 左导数：$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$
• 右导数：$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$

可导与连续的关系（核心！）

$$\text{可导}\Rightarrow \text{连续}\text{但}\text{连续}\nRightarrow \text{可导}$$

判断可导的三步走

1. 先看连续：不连续一定不可导
2. 再看左右导数：是否相等
3. 相等则可导，不等则不可导

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三、核心难点：含参分段函数可导求参数

套路：连续性 + 左右导数相等

示例：设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<1\\ ax+b,& x\ge 1\end{array}$ 在 $x=1$ 处可导，求 $a,b$。

第一步（连续性）：$f(1)=a+b$，左极限 $1^2=1$，连续要求 $a+b=1$。 第二步（左右导数）：左导数 $\underset{x\to 1^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}=2$；右导数 $\underset{x\to 1^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{ax+b-1}{x-1}}=a$。 第三步（相等）：$a=2$，代入 $a+b=1$ 得 $b=-1$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：连续就以为可导

看到"在 $x_0$ 连续"就以为可导——错！连续只是可导的必要条件。$|x|$ 连续但不可导。

坑 2：不连续还判断可导

如果函数在 $x_0$ 处不连续，直接判不可导，不用再算左右导数。

坑 3：含参可导只用一个条件

含参可导题要两个方程：连续性方程 + 左右导数相等方程。只用一个条件求不出两个参数。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（判断可导性）

判断 $f(x)=x|x|$ 在 $x=0$ 处是否可导。

题型定位：可导性 → 左右导数 识别特征：含绝对值 手把手步骤：

1. 左导数：$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{x|x|-0}{x}}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{x\cdot (-x)}{x}}=-x\to 0$
2. 右导数：$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{x\cdot x}{x}}=x\to 0$
3. 左右导数相等 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{可导，}{f}^{\prime }(0)=0}}$避坑反思：$x|x|$ 在 0 处是"平滑"的，虽然含绝对值但可导。

例 2（连续性判断可导）

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0\\ x^2,& x>0\end{array}$ 在 $x=0$ 处？

题型定位：可导性 → 先判连续 识别特征：分段函数分界点 手把手步骤：

1. 连续：左极限 $f(0^{-})=1$，右极限 $f(0^{+})=0$，不相等，不连续
2. 不连续 → 不可导 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{不连续，不可导}}}$避坑反思：先判连续，连续都没有直接判不可导。

例 3（含参可导）

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}},& x<0\\ ax+b,& x\ge 0\end{array}$ 在 $x=0$ 可导，求 $a,b$。

题型定位：可导性 → 含参 识别特征：分界点可导求参数 手把手步骤：

1. 连续：左极限 $\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$，$f(0)=b$，得 $b=1$
2. 左导数：$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x/x-1}{x}}$，用等价无穷小，${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}-1\sim -{\displaystyle \frac{x^2}{6}}$，除以 $x$ 得 $-{\displaystyle \frac{x}{6}}\to 0$
3. 右导数：$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{ax+b-b}{x}}=a$
4. 相等：$a=0$结论：$\boxed{{\displaystyle a=0,b=1}}$避坑反思：左导数用泰勒展开，${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1-{\displaystyle \frac{x^2}{6}}+o(x^2)$。

例 4（反例：连续但不可导）

举一个在 $x=0$ 连续但不可导的例子。

题型定位：概念辨析 → 连续与可导 识别特征：要求举反例 手把手步骤：

1. 取 $f(x)=|x|$
2. 连续：$\underset{x\to 0}{lim}|x|=0=f(0)$ ✅
3. 左导数 $-1$，右导数 $1$，不等 结论：$|x|$ 是连续但不可导的标准反例。

例 5（综合判断）

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，判断 $f$ 在 $x=0$ 的可导性。

题型定位：可导性 → 定义判断 识别特征：振荡函数在 0 处 手把手步骤：

1. 连续：$|x^2\sin \frac{1}{x}|\le x^2\to 0$，连续 ✅
2. 导数：$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x^2\sin \frac{1}{x}-0}{x}}=\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0$
3. 左右导数相等 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{可导，}{f}^{\prime }(0)=0}}$避坑反思：$x\sin \frac{1}{x}\to 0$（有界乘无穷小），尽管 $\sin \frac{1}{x}$ 振荡但整体趋 0。

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 可导一定（ ）连续。 A. 一定 B. 不一定 C. 一定不 D. 无法判断

2. $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处（ ） A. 可导 B. 连续但不可导 C. 不连续 D. 无定义

填空题

3. 判断分段函数在分界点可导，需要看 ______ 和 ______。

4. 连续是可导的 ______（充分/必要）条件。

解答题

5. 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2,& x<1\\ 2x+b,& x\ge 1\end{array}$ 在 $x=1$ 处可导，求 $a,b$。

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答案与详细解析

1. 答案：A（可导一定连续） 2. 答案：B3. 答案：左导数、右导数4. 答案：必要（可导⇒连续，所以连续是可导的必要条件） 5. 答案：$a=1,b=-1$
解析：连续：$a=2+b$。左导数：$\underset{x\to 1^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{a{x}^2-a}{x-1}}=2a$；右导数：$\underset{x\to 1^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{2x+b-(2+b)}{x-1}}=2$。$2a=2$ 得 $a=1$，$b=-1$。