3.2 直接积分法（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：基本刀工

直接积分就是"基本刀工"——先把被积函数展开、拆项、化简，变成能直接套积分公式的样子，然后逐项积分。

好比做饭前先切菜：把大块食材（复杂函数）切成标准小块（能套公式的项），再下锅（套公式）。

直接积分的核心思路

变形 → 套公式 → 逐项积分

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二、考点全爆破

基本积分公式（必背！）

公式	结果
$\int kdx$	$kx+C$
$\int x^{\alpha }dx$	${\displaystyle \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C$（$\alpha \ne -1$）
$\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx$	$\ln
$\int e^{x}dx$	$e^x+C$
$\int a^{x}dx$	${\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}}+C$
$\int \sin xdx$	$-\cos x+C$
$\int \cos xdx$	$\sin x+C$
$\int {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx$	$\arctan x+C$
$\int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx$	$\arcsin x+C$

常用变形技巧

题型	变形方法	示例
多项式乘开	展开	$\int (x+1{)}^{2}dx=\int (x^2+2x+1)dx$
假分式	多项式除法	$\int {\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}dx=\int (x-1+{\displaystyle \frac{1}{x+1}})dx$
三角函数平方	降幂公式	$\int {\sin }^{2}xdx=\int {\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}}dx$
根式	化指数	$\int \sqrt[3]{x^2}dx=\int x^{2/3}dx$

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三、核心难点：假分式的"加减 1"技巧

套路：分子加减分母的倍数，凑出简单形式

示例：$\int {\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}dx$

分子分母同次，加减 1：${\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}=1-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$。 积分：$\int 1dx-\int {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx=x-\arctan x+C$。

难点 2：${\displaystyle \frac{x^4}{1+x^2}}$ 多项式除法

${\displaystyle \frac{x^4}{1+x^2}}=x^2-1+{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ 积分：${\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x+\arctan x+C$

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：$\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=\ln x+C$ 丢绝对值

必须写 $\ln |x|+C$。

坑 2：$\int {\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx$ 写成 $\ln x^2$

$\int {\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx=-{\displaystyle \frac{1}{x}}+C$，不是 $\ln x^2$！${\displaystyle \frac{1}{x^2}}=x^{-2}$ 是幂函数。

坑 3：$\alpha =-1$ 时公式失效

$\int x^{\alpha }dx$ 公式要求 $\alpha \ne -1$，$\alpha =-1$ 时用 $\ln |x|$。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（多项式展开）

求 $\int (x+1{)}^{2}dx$。

题型定位：直接积分 → 展开 识别特征：完全平方式 手把手步骤：

1. 展开：$(x+1{)}^2=x^2+2x+1$
2. 逐项积分：${\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+x$
3. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+x+C}}$

例 2（假分式）

求 $\int {\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}dx$。

题型定位：直接积分 → 假分式 识别特征：分子次数 ≥ 分母 手把手步骤：

1. 多项式除法：${\displaystyle \frac{x^2}{x+1}}=x-1+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$
2. 积分：${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x+\ln |x+1|$
3. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x+\ln |x+1|+C}}$

例 3（降幂公式）

求 $\int {\sin }^{2}xdx$。

题型定位：直接积分 → 降幂 识别特征：三角函数平方 手把手步骤：

1. 降幂：${\sin }^{2}x={\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}}$
2. 积分：${\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\sin 2x$
3. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{\sin 2x}{4}}+C}}$

例 4（加减 1 技巧）

求 $\int {\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}dx$。

题型定位：直接积分 → 加减 1 识别特征：分子分母同次 手把手步骤：

1. 变形：${\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}=1-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$
2. 积分：$x-\arctan x$
3. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle x-\arctan x+C}}$

例 5（根式化指数）

求 $\int \sqrt[3]{x^2}dx$。

题型定位：直接积分 → 根式 识别特征：根式 手把手步骤：

1. 化指数：$\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$
2. 积分：${\displaystyle \frac{x^{5/3}}{5/3}}={\displaystyle \frac{3}{5}}{x}^{5/3}$
3. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{5}}{x}^{5/3}+C}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $\int {\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx=$（ ） A. $\ln x^2+C$ B. $-{\displaystyle \frac{1}{x}}+C$ C. ${\displaystyle \frac{1}{x}}+C$ D. $x^{-1}+C$

2. $\int e^{x}dx=$（ ） A. $e^x$ B. $e^x+C$ C. $\ln x+C$ D. $x{e}^x+C$

填空题

3. $\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=$ ______。

4. $\int \sqrt{x}dx=$ ______。

解答题

5. 求 $\int {\displaystyle \frac{x^3+1}{x}}dx$。

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答案与详细解析

1. 答案：B（$\int x^{-2}dx=-x^{-1}+C$） 2. 答案：B3. 答案：$\ln |x|+C$4. 答案：${\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{3/2}+C$5. 答案：${\displaystyle \frac{x^3}{3}}+\ln |x|+C$（拆分：$\int x^{2}dx+\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx$）