高等数学 · 2018 年真题（回忆版 + 参考答案）

类型：公开回忆整理（B 级）| 满分 100 · 120 分钟 主攻：极限 · 极值 · 级数 · 二重积分 · 微分方程 边界：回忆版 / 公开整理，非考试院原卷 PDF 镜像；个别措辞以正版真题册为准。见 00-资料来源与使用说明 来源：公开回忆卷交叉整理（知乎专栏 / 华哥专升本等）

试卷结构

题型	题量	分值
一、单项选择题	5	15
二、填空题	5	15
三、计算题	8	48
四、综合题	2	22
合计	20	100

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一、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）

1. ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(3x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{\sin x}{x}})=}$

A. $0$ B. $1$ C. $3$ D. $4$

答案与解析B。$3x\sin (1/x)\to 0$（夹逼），$\sin x/x\to 1$。

2. $f$ 有二阶导数，$f^{\prime }(0)=-1$，$f^{\prime }(1)=0$，$f^{″}(0)=-1$，$f^{″}(1)=3$，正确的是

A. $x=0$ 是极小值点 B. $x=0$ 是极大值点 C. $x=1$ 是极小值点 D. $x=1$ 是极大值点

答案与解析C。$f^{\prime }(1)=0$ 且 $f^{″}(1)=3>0$ → 极小；$f^{\prime }(0)\ne 0$ 不是驻点。

3. 已知 $\int f(x)dx=x^2+C$，则 $\int f(x^2)dx=$

A. $x^5+C$ B. $x^4+C$ C. ${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^4+C$ D. ${\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+C$

答案与解析D。$f(x)=2x$，故 $f(x^2)=2x^2$，$\int 2x^2={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+C$。

4. 级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2+(-1{)}^n}{3^n}}=}$

A. $2$ B. $1$ C. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ D. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

答案与解析C。拆为 $2\sum (1/3{)}^n+\sum (-1/3{)}^n$ 几何级数求和得 $3/4$。

5. $D=\{(x,y)\mid 4\le x^2+y^2\le 9\}$，${\displaystyle {\iint }_D{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}}d\sigma =}$

A. $2\pi$ B. $10\pi$ C. $2\pi \ln {\displaystyle \frac{3}{2}}$ D. $4\pi \ln {\displaystyle \frac{3}{2}}$

答案与解析A。极坐标：${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_2^3(1/r)\cdot rdr=2\pi \cdot 1=2\pi$。

二、填空题（每题 3 分，共 15 分）

6. $\{\begin{array}{l}x={\log }_{3}t\\ y=3^t\end{array}$，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}{|}_{t=1}=$ ______

答案$3{\ln }^{2}3$

7. ${\displaystyle {\int }_{-2}^2(|x|+\sin x)dx=}$ ______

答案$4$（奇函数部分积分为 0）

8. ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{1-2x}dx=}$ ______

答案${\displaystyle \frac{e}{2}}$

9. $z=x^{y+1}$，在 $x=e,y=0$ 处全微分 $dz=$ ______

答案$dx+edy$

10. $x^{2}dy=ydx$，$y{|}_{x=1}=1$ 的特解 $y=$ ______

答案$e^{1-1/x}$

三、计算题（每题 6 分，共 48 分）

11. 使 $f$ 在 $x=0$ 连续：分段 $x<0$ 为 $(x+a)/(x^2+1)$，$x=0$ 为 $b$，$x>0$ 为 $(1+2/x{)}^x$。

答案$a=b=1$

12. ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}[{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x^2}}]}$

答案${\displaystyle \frac{1}{2}}$

13. 隐函数 $(1+y^2)\arctan y=x{e}^x$，求 $dy/dx$

答案${\displaystyle \frac{e^x(x+1)}{2y\arctan y+1}}$

14. $\ln (1+x^2)$ 是 $f$ 的一个原函数，求 $\int x{f}^{\prime }(x)dx$

答案${\displaystyle \frac{2x^2}{1+x^2}}-\ln (1+x^2)+C$

15. $y=1+{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1+x}}$ 与 $y=0,x=0,x=1$ 围成面积 $A$

答案$3-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

16. $z={\displaystyle \frac{xy}{1+y^2}}$，求 $\partial z/\partial y$ 与 ${\partial }^{2}z/\partial y\partial x$

答案$\partial z/\partial y={\displaystyle \frac{x(1-y^2)}{(1+y^2{)}^2}}$，${\partial }^{2}z/\partial y\partial x={\displaystyle \frac{1-y^2}{(1+y^2{)}^2}}$

17. ${\displaystyle {\iint }_D\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x}{y}}}d\sigma }$（$y=x,y=1,y=2,x=0$ 围成）

答案$1$

18. 判定 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{|\sin n|+2^n}}}$ 的收敛性

答案收敛（与 $\sum n/2^n$ 比较）

四、综合题

19.（10 分）$f^{″}-4f=0$，曲线过 $(0,0)$ 且切线平行于 $y=2x+1$

(1) $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x}$（即 $\sinh 2x$） (2) 凹 $(0,+\mathrm{\infty })$，凸 $(-\mathrm{\infty },0)$，拐点 $(0,0)$

20.（12 分）$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x\cos t^{2}dt}$

(1) $f^{\prime }(0)=1$ (2) $f$ 为奇函数 (3) 当 $x>0$ 时 $f(x)>x-{\displaystyle \frac{(1+\lambda )x^3}{3\lambda }}$（$\lambda >0$）

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