1.5 闭区间上连续函数的性质（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：闭区间上连续的函数有四个"铁饭碗"

闭区间上连续的函数有四个铁饭碗：

1. 一定有最大值和最小值（最值定理）— 山顶和谷底
2. 一定有界（有界性）— 被框住
3. 中间值一定能取到（介值定理）— 从低到高经过所有中间值
4. 端点异号就一定过零点（零点定理）— 正负之间必有零

考频最高的是零点定理——证明题中至少有一道是它。

几何直观：从河的左岸走到右岸

零点定理好比：从河的左岸（负高度）走到右岸（正高度），只要你中间没长翅膀飞过去（函数连续），你脚底板绝对会踩到一次河水平面（零高度）。

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二、考点全爆破

四大定理

定理	条件	结论	考频
最值定理	$[a,b]$ 连续	必有最大值 $M$ 和最小值 $m$	中
有界性定理	$[a,b]$ 连续	存在 $M$ 使 $	f(x)
介值定理	$[a,b]$ 连续，$m$ 和 $M$ 之间	介于 $m$ 与 $M$ 之间的值都能取到	中
零点定理	$[a,b]$ 连续，$f(a)f(b)<0$	存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$	高

证明题万能三步走（零点定理版）

1. 构造辅助函数：把所有项移到一边，$F(x)=$ ...
2. 证连续性：$F(x)$ 在 $[a,b]$ 连续（多项式/初等函数）
3. 算端点值：$F(a)\cdot F(b)<0$ → 由零点定理得证

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三、核心难点：证明存在性+唯一性的"组合拳"

套路：存在性用零点定理，唯一性用单调性或罗尔定理

示例：证明 $x^3-3x+1=0$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。

存在性：$f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$，零点定理→至少有一个根。 唯一性：$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，在 $(0,1)$ 上 $f^{\prime }(x)<0$，单调递减→至多一个根。 结合：有且仅有一个实根。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：只证存在性，忘了证唯一性

题目说"有且仅有一个"，你就必须证两部分：存在性（零点定理）+ 唯一性（单调性/罗尔定理）。只证一半扣一半分。

坑 2：区间端点用错

闭区间 $[a,b]$ 上连续，证出的根在开区间 $(a,b)$ 内。写的时候注意区分。

坑 3：证明题不写"由零点定理"

必须写清楚："由零点定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$"。不写"由零点定理"四个字可能扣分。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（零点定理基础）

证明 $x^5-3x-1=0$ 在 $(1,2)$ 内至少有一个实根。

题型定位：连续性质 → 零点定理 识别特征：证明方程在区间内有根 手把手步骤：

1. 设 $f(x)=x^5-3x-1$，在 $[1,2]$ 连续
2. $f(1)=1-3-1=-3<0$，$f(2)=32-6-1=25>0$
3. $f(1)f(2)<0$，由零点定理 结论：存在 $\xi \in (1,2)$ 使 $f(\xi )=0$，得证。

例 2（零点定理+单调性证唯一）

证明 $x^3-3x+1=0$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。

题型定位：连续性质 → 存在+唯一 识别特征：证明"有且仅有一个" 手把手步骤：

1. 存在性：$f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$，零点定理至少有一个根
2. 唯一性：$f^{\prime }(x)=3x^2-3$，在 $(0,1)$ 上 $f^{\prime }(x)<0$，单调递减 结论：单调函数至多一个根，有且仅有一个实根。

例 3（介值定理应用）

设 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 连续，$f(0)=2$，$f(3)=8$，证明存在 $\xi \in (0,3)$ 使 $f(\xi )=5$。

题型定位：连续性质 → 介值定理 识别特征：证明取到中间值 手把手步骤：

1. $f$ 在 $[0,3]$ 连续，有最小值 $m$ 和最大值 $M$
2. $5$ 介于 $2$ 和 $8$ 之间
3. 由介值定理，存在 $\xi \in (0,3)$ 使 $f(\xi )=5$结论：得证。

例 4（奇次多项式必有根）

证明 $x^5+2x+1=0$ 至少有一个实根。

题型定位：连续性质 → 零点定理推广 识别特征：奇次多项式 手把手步骤：

1. $f(x)=x^5+2x+1$，在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. $x\to -\mathrm{\infty }$ 时 $f(x)\to -\mathrm{\infty }$，取 $a$ 使 $f(a)<0$
3. $x\to +\mathrm{\infty }$ 时 $f(x)\to +\mathrm{\infty }$，取 $b$ 使 $f(b)>0$
4. 由零点定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$结论：至少有一个实根。

例 5（综合证明）

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，且 $f(0)=f(1)$，证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f(\xi )=f(\xi +\frac{1}{2})$。

题型定位：连续性质 → 辅助函数技巧 识别特征：端点值相等，证明存在某点使等式成立 手把手步骤：

1. 构造辅助函数 $F(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{2})$，$F$ 在 $[0,\frac{1}{2}]$ 连续
2. $F(0)=f(0)-f(\frac{1}{2})$，$F(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})-f(1)=f(\frac{1}{2})-f(0)$
3. 则 $F(0)=-F(\frac{1}{2})$，即 $F(0)\cdot F(\frac{1}{2})=-[F(0){]}^2\le 0$
4. 若 $F(0)=0$，则 $\xi =0$ 即为所求；若 $F(0)\ne 0$，则 $F(0)\cdot F(\frac{1}{2})<0$，由零点定理存在 $\xi \in (0,\frac{1}{2})$ 使 $F(\xi )=0$结论：存在 $\xi$ 使 $f(\xi )=f(\xi +\frac{1}{2})$。

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 零点定理的结论是存在 $\xi$ 使 $f(\xi )=$（ ） A. 0 B. 1 C. $f(a)$ D. $f(b)$

2. 闭区间上连续的函数一定有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值和最小值 D. 以上都不对

填空题

3. 零点定理要求区间端点值 ______。

4. 证明方程有根，第一步是 ______。

解答题

5. 证明 $x^3-4x+1=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

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答案与详细解析

1. 答案：A（零点是 $f(\xi )=0$） 2. 答案：C（最值定理） 3. 答案：一正一负（异号）4. 答案：构造辅助函数5. 答案： 设 $f(x)=x^3-4x+1$，$f(0)=1>0$，$f(1)=1-4+1=-2<0$，$f(0)f(1)<0$，由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f(\xi )=0$，得证。