高等数学 · 2020 年真题（回忆版 + 参考答案）

类型：公开回忆整理（B 级）| 满分 100 · 120 分钟 主攻：极限 · 极值 · 二重积分 · 旋转体 · 单调性 边界：回忆版 / 公开整理，非考试院原卷 PDF 镜像；个别措辞以正版真题册为准。见 00-资料来源与使用说明 来源：公开回忆卷交叉整理（知乎专栏 / 华哥专升本等）

试卷结构

题型	题量	分值
一、单项选择题	5	15
二、填空题	5	15
三、计算题	8	48
四、综合题	2	22
合计	20	100

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一、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）

1. 设 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}[\cos x-f(x)]=1}$，正确的是

A. $limf(x)=1$ B. $limf(x)\cos x=1$ C. $limf(x)=-1$ D. $lim[f(x)+\cos x]=1$

答案与解析D。由 $lim(\cos x-f)=1$ 得 $lim(\cos x-f)+lim\cos x=lim(2\cos x-f)$……更直接： $limf=lim\cos x-1=0$，则 $lim(f+\cos x)=1$。逐项验证选 D。

2. $f(x)=2x^3-3x^2$ 的极小值点是

A. $x=-1$ B. $x=0$ C. $x=1$ D. $x=2$

答案与解析C。$f^{\prime }=6x(x-1)$，驻点 $0,1$；$f^{″}(0)=-6$（极大），$f^{″}(1)=6$（极小）。

3. $3^x$ 是 $f$ 的一个原函数，则 $f(x)=$

A. $3^x$ B. $3^x\ln 3$ C. $x\cdot 3^{x-1}$ D. $3^x/\ln 3$

答案与解析B。$f=(3^x{)}^{\prime }=3^x\ln 3$。

4. $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,y\ge 0\}$，${\displaystyle {\iint }_D(x^2+y^2{)}^{4}d\sigma =}$

A. $\pi /10$ B. $\pi /9$ C. $\pi /5$ D. $2\pi /9$

答案与解析A。极坐标：${\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^1{r}^8\cdot rdr=\pi \cdot \frac{1}{9}=\pi /9$……半圆 $\theta \in [0,\pi ]$： ${\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^1{r}^{9}dr=\pi \cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}={\displaystyle \frac{\pi }{10}}$。

5. $0\le a_n\le 1/5^n$，下列发散的是

A. $\sum 3a_n$ B. $\sum a_{n+3}$ C. $\sum (a_n+n^{-2/3})$ D. $\sum (a_n-n^{-3/2})$

答案与解析C。$p=2/3<1$ 的 $p$-级数发散，正项叠加仍发散。

二、填空题（每题 3 分，共 15 分）

6. $f(x)=\{\begin{array}{ll}(1+a)x^2,& x\le 1\\ a(x-2{)}^3+3,& x>1\end{array}$ 在 $x=1$ 连续，$a=$ ______

答案$1$

7. 曲线 ${\displaystyle \frac{x^2}{2}}+y^2=3$ 在点 $(2,-1)$ 切线 $y=$ ______

答案$x-3$（即 $y=x-3$）

8. $y^{″}+3y^{\prime }-4y=0$ 通解 $y=$ ______

答案$C_1{e}^x+C_2{e}^{-4x}$

9. ${\displaystyle \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}}=3x+2(x\ne 0)$，则 $f_x^{\prime }(0,0)=$ ______

答案$2$

10. $f^{\prime }=f$，$f(0)=m$，${\displaystyle {\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{f(x)}{e^x}}dx=8}$，则 $m=$ ______

答案$4$

三、计算题（每题 6 分，共 48 分）

11. ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\int }_0^{x}t\arctan tdt}{x^3}}}$ → $1/3$
12. $y^{\prime }=\ln \sqrt{x}+\sqrt{\ln x}+2\ln 2$，求 $y^{″}{|}_{x=e}$ → $1/e$
13. ${\displaystyle \int (\cos 2x-x\sin x^2)dx}$ → ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos x^2+C$
14. $f=\{\begin{array}{ll}{x}^3/(1+x^2),& x\le 1\\ x,& x>1\end{array}$，${\displaystyle {\int }_{-3}^{0}f(x+2)dx}$ → $3/2$
15. $z=3x{y}^2+x^2/y$：$\mathrm{d}z=(3y^2+2x/y)dx+(6xy-x^2/y^2)dy$；${\partial }^{2}z/\partial x\partial y=6y-2x/y^2$
16. ${\displaystyle {\iint }_{D}yd\sigma }$（$y=x,y=x-2,y=0,y=2$）→ $4$
17. ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{{\sec }^{2}x}{y^2}}$，$y{|}_{x=0}=1$ → $y=\sqrt[3]{3\tan x+1}$
18. ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{n^n}{2^{n}n!}}}$ → 发散

四、综合题

19.（12 分）$G$ 由 $y=e^{ax}$、$y=e$、$x=0$ 围成，$a>0$，面积 $=1$

(1) $a=1$ (2) 绕 $y$ 轴旋转体积 $V=(e-2)\pi$

20.（10 分）$f(x)={\displaystyle \frac{a}{1+e^{bx}}}$（$ab\ne 0$）

(1) $ab<0$ 时单调增；$ab>0$ 时单调减 (2) 拐点 $(0,a/2)$ (3) $b>0$：水平渐近线 $y=0$ 与 $y=a$；$b<0$ 则对调

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