高等数学 · 2022 年真题（回忆版 + 参考答案）

类型：公开回忆整理（B 级）| 满分 100 · 120 分钟主攻：连续 · 极限 e · 极坐标积分 · 积分方程边界：回忆版 / 公开整理，非考试院原卷 PDF 镜像；个别措辞以正版真题册为准。见 00-资料来源与使用说明

试卷结构

$f (x) = {\begin{cases} x + 1, & x \neq 1 \\ a, & x = 1 \end{cases}$ 在 1 连续 → D. $a = 2$
$lim_{x \to 0} (1 - 3 x)^{1 / x}$ → A. $e^{- 3}$
$lim u_{n} = 0$ 是级数收敛的 → B. 必要条件
$1 / x^{2}$ 是 $f$ 原函数， $\int_{1}^{+ \infty} f$ → C. $- 1$
$I = \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f (x^{2} + y^{2}) d y$ 极坐标 → D. $\int_{π / 4}^{π / 2} d θ \int_{0}^{\csc θ} r f (r^{2}) d r$

$2 x$ 与 $3 x^{2} + m x$ 等价 → $m =$ 2
${\begin{cases} x = 5 t - t^{2} \\ y = \log_{2} t \end{cases}$ ， $d y / d x |_{t = 2} =$ $1 / (2 \ln 2)$
椭圆 $x^{2} / 4 + y^{2} / 3 = 1$ 绕 $x$ 轴体积 → $8 π$
$e^{- x} y^{'} = 2$ 通解 → $y = 2 e^{x} + C$
$z = x^{\ln y}$ 在 $(e, e)$ 全微分 → $d x + d y$

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5}{x^{3} - 3 x + 2}$ → 2
$y = \arctan x^{2}$ ， $y^{″} |_{x = 1}$ → $- 1$
$f (x) = x^{2} \sin (1 / x) + 2 x (x \neq 0)$ ， $f^{'} (0)$ → 2
$\int \frac{2 x^{2} + 3 x}{x \sqrt{1 - x^{2}}} d x$ → $3 \arcsin x - 2 \sqrt{1 - x^{2}} + C$
$\int_{0}^{π / 4} x \sec^{2} x d x$ → $π / 4 - \frac{1}{2} \ln 2$
$z = 2 x - y^{2} e^{z}$ ， $z_{x} - y z_{y}$ → 2
$\iint_{D} \cos x d σ$ （ $y = \sin x$ 等围成）→ $1 / 2$
$\sum (n / 3^{n} - 3 / 2^{n})$ → 收敛

$f = 2 x \ln x - x - 1 / x + 2$ ：拐点 $(1, 0)$ ；不存在过原点切线
(1) 证 $\int_{0}^{x} f (x - t) d t = \int_{0}^{x} f (t) d t$ (2) $f = 3 x + 1 + \int_{0}^{x} t f - x \int_{0}^{x} f (x - t)$ → $f = \cos x + 3 \sin x$

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