7.2 一阶微分方程（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：一阶方程就三种考法

能分离变量的就分离，不能分离的用公式。一阶方程就三种考法：

类型	标准形式	方法
可分离变量	${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(x)g(y)$	分离变量
齐次方程	$y^{\prime }=f({\displaystyle \frac{y}{x}})$	令 $u={\displaystyle \frac{y}{x}}$
一阶线性	$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$	公式法

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二、考点全爆破

可分离变量

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$

步骤：分离 → 两边积分 → 解出 $y$

一阶线性（必背公式！）

$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$$$$y=e^{-\int Pdx}(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C)$$

齐次方程

$$y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$$

令 $u={\displaystyle \frac{y}{x}}$，$y=ux$，$y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$，转化为可分离。

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三、核心难点：一阶线性公式的使用

套路：识别 $P(x)$ 和 $Q(x)$ → 套公式

示例：解 $y^{\prime }+y=x$。

$P=1$，$Q=x$。 $\int Pdx=x$，$e^{\int Pdx}=e^x$。 $y=e^{-x}(\int x{e}^{x}dx+C)=e^{-x}(x{e}^x-e^x+C)=x-1+C{e}^{-x}$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：$e^{-\int Pdx}$ 和 $e^{\int Pdx}$ 位置搞反

公式是 $y=e^{-\int Pdx}(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C)$，内外两个指数位置别反。

坑 2：一阶线性 $Q(x)=0$ 时直接用公式

$y^{\prime }+P(x)y=0$ 是齐次一阶线性，结果是 $y=C{e}^{-\int Pdx}$（省掉积分那步）。

坑 3：分离变量时漏定义域

分离后 $\ln$ 出现要加绝对值，最后再处理。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（可分离变量）

解 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=2xy$。

题型定位：一阶 → 可分离 识别特征：$f(x)g(y)$ 结构 手把手步骤：

1. 分离：${\displaystyle \frac{dy}{y}}=2xdx$
2. 积分：$\ln |y|=x^2+C$
3. 解出：$y=C{e}^{x^2}$结论：$\boxed{{\displaystyle y=C{e}^{x^2}}}$

例 2（一阶线性）

解 $y^{\prime }+y=x$。

题型定位：一阶 → 线性 识别特征：$y^{\prime }+Py=Q$手把手步骤：

1. $P=1$，$Q=x$
2. $e^{\int Pdx}=e^x$
3. $y=e^{-x}(\int x{e}^{x}dx+C)$
4. $=e^{-x}(x{e}^x-e^x+C)=x-1+C{e}^{-x}$结论：$\boxed{{\displaystyle y=x-1+C{e}^{-x}}}$

例 3（齐次线性）

解 $y^{\prime }-2y=0$。

题型定位：一阶 → 齐次线性 识别特征：$Q(x)=0$手把手步骤：

1. $y^{\prime }=2y$，分离：${\displaystyle \frac{dy}{y}}=2dx$
2. $\ln |y|=2x+C$结论：$\boxed{{\displaystyle y=C{e}^{2x}}}$

例 4（带初始条件）

解 $y^{\prime }+y=e^x$，$y(0)=1$。

题型定位：一阶 → 线性+初值 识别特征：给初始条件 手把手步骤：

1. $P=1$，$Q=e^x$，$e^{\int Pdx}=e^x$
2. $y=e^{-x}(\int e^x\cdot e^{x}dx+C)=e^{-x}({\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}+C)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^x+C{e}^{-x}$
3. $y(0)=1$：${\displaystyle \frac{1}{2}}+C=1$，$C={\displaystyle \frac{1}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle y={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^x+e^{-x})}}$

例 5（初等变换型）

解 $x{y}^{\prime }+y=x^2$。

题型定位：一阶 → 标准化 识别特征：需先化为标准形式 手把手步骤：

1. 除以 $x$：$y^{\prime }+{\displaystyle \frac{1}{x}}y=x$
2. $P={\displaystyle \frac{1}{x}}$，$Q=x$
3. $e^{\int Pdx}=e^{\ln x}=x$
4. $y={\displaystyle \frac{1}{x}}(\int x\cdot xdx+C)={\displaystyle \frac{1}{x}}({\displaystyle \frac{x^3}{3}}+C)$结论：$\boxed{{\displaystyle y={\displaystyle \frac{x^2}{3}}+{\displaystyle \frac{C}{x}}}}$避坑反思：先除以 $x$ 化成标准形式，再套公式。

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 一阶线性方程的标准形式（ ） A. $y^{\prime }=f(x)$ B. $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ C. $y^{\prime }=f(y)$ D. $y^{″}+y=0$

2. $y^{\prime }+y=0$ 的通解（ ） A. $y=e^{-x}$ B. $y=C{e}^{-x}$ C. $y=e^x$ D. $y=C{e}^x$

填空题

3. 可分离变量：${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(x)g(y)$，分离后 ______。

4. 一阶线性公式 $y=$ ______。

解答题

5. 解 $y^{\prime }={\displaystyle \frac{y}{x}}$。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：$\int {\displaystyle \frac{dy}{g(y)}}=\int f(x)dx$4. 答案：$e^{-\int Pdx}(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C)$5. 答案：$y=Cx$（分离：${\displaystyle \frac{dy}{y}}={\displaystyle \frac{dx}{x}}$，$\ln |y|=\ln |x|+C$，$y=Cx$）