1.1 左右极限与极限存在判定（专升本全勤版）

---

一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：两辆车从左右同时驶向同一座桥

极限存不存在，就看 从左边逼近 和 从右边逼近 最终是否停在同一个高度。

好比两辆车从左右两边同时驶向同一座桥：

• 如果它们 精准对接在同一个点 → 极限存在 ✅
• 如果一高一低、错开了 → 极限不存在 ❌
• 如果其中一辆掉下悬崖了（跑飞了）→ 极限不存在 ❌

判定口诀：极限在不在，先问三件事——左边到几？右边到几？一样不一样？一样→存在，不一样→不存在。

几何直观：左右夹击法

在 $x_0$ 处画一条竖线，看 $x$ 从左边靠近 $x_0$ 时 $y$ 停在哪儿，再从右边靠近 $x_0$ 时 $y$ 停在哪儿。如果两个位置重合，极限存在；否则不存在。

---

二、考点全爆破（知识表格 + 变形口诀）

左右极限定义

极限类型	定义式	记法
左极限	$x$ 从小于 $x_0$ 方向趋近	$f(x_0^{-})=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$
右极限	$x$ 从大于 $x_0$ 方向趋近	$f(x_0^{+})=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$

极限存在判定定理（核心！）

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L⟺f(x_0^{-})=f(x_0^{+})=L$$

三大必分左右极限的高频场景

场景	左极限	右极限	结论
分段函数在分界点	用 $x<x_0$ 的解析式	用 $x>x_0$ 的解析式	常需相等求未知常数
$e^{1/x}$ 在 $x\to 0$	$e^{1/x}\to 0$	$e^{1/x}\to +\mathrm{\infty }$	不相等，极限不存在
$\arctan \frac{1}{x}$ 在 $x\to 0$	$\to -\frac{\pi }{2}$	$\to \frac{\pi }{2}$	不相等，极限不存在
$	x	$ 在 $x\to 0$	$

保命口诀：看到 $e^{1/x}$ 或 $\arctan \frac{1}{x}$ 且 $x\to 0$，必须写左右，否则必错！

---

三、核心难点：含绝对值与分段函数的极限拆解

难点类型 1：含 $|x|$ 的极限

当 $x\to 0$ 时，$|x|$ 必须分左右。

• $x\to 0^{-}$ 时，$|x|=-x$（因为 $x<0$）
• $x\to 0^{+}$ 时，$|x|=x$（因为 $x>0$）

示例：求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{|x|}}$。

左极限：$x\to 0^{-}$，$|x|=-x$，原式 $=\frac{\sin x}{-x}\to -1$。 右极限：$x\to 0^{+}$，$|x|=x$，原式 $=\frac{\sin x}{x}\to 1$。 左右不等 → 极限不存在。

难点类型 2：含 $e^{1/x}$ 的极限

$x\to 0$ 时，$1/x$ 在左右两侧行为完全不同。

• $x\to 0^{-}$：$1/x\to -\mathrm{\infty }$，$e^{1/x}\to 0$
• $x\to 0^{+}$：$1/x\to +\mathrm{\infty }$，$e^{1/x}\to +\mathrm{\infty }$

示例：求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}}$。

左极限：$e^{1/x}\to 0$，原式 $\to \frac{0-1}{0+1}=-1$。 右极限：$e^{1/x}\to +\mathrm{\infty }$，分子分母同除 $e^{1/x}$，原式 $\to \frac{1-0}{1+0}=1$。 左右不等 → 极限不存在。

---

四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：看见 $x\to 0$ 和 $\frac{1}{x}$ 不分左右（最致命！）

求 $\underset{x\to 0}{lim}{e}^{1/x}$。

有人直接写 $e^{1/x}\to \mathrm{\infty }$，这是错的！ 必须分左右： $x\to 0^{-}$：$e^{1/x}\to 0$$x\to 0^{+}$：$e^{1/x}\to +\mathrm{\infty }$ 左右无边法统一 → 极限不存在。

坑 2：分段函数在分界点不写左右

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<1\\ 3-x,& x\ge 1\end{array}$，求 $\underset{x\to 1}{lim}f(x)$。

左极限：$x\to 1^{-}$ 用 $x+1$，$f(1^{-})=2$。 右极限：$x\to 1^{+}$ 用 $3-x$，$f(1^{+})=2$。 左右相等 → 极限存在为 $2$。 如果忘了分左右，直接代入某个表达式，会算错。

坑 3：$\arctan \frac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ 处忘分左右

$\arctan \frac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ 时：

• 左极限：$\arctan (-\mathrm{\infty })=-\frac{\pi }{2}$
• 右极限：$\arctan (+\mathrm{\infty })=\frac{\pi }{2}$
• 左右不等 → 极限不存在。

---

五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（分段函数含参求极限）

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\sin x}{|x|}},& x<0\\ k+x,& x\ge 0\end{array}$，若 $\underset{x\to 0}{lim}f(x)$ 存在，求常数 $k$。

题型定位：极限存在性 → 含参分段函数 识别特征：分段函数在分界点，极限存在求参数 手把手步骤：

1. 左极限：$x\to 0^{-}$ 时 $|x|=-x$，${\displaystyle \frac{\sin x}{|x|}}={\displaystyle \frac{\sin x}{-x}}\to -1$
2. 右极限：$x\to 0^{+}$ 时 $f(x)=k+x$，$\underset{x\to 0^{+}}{lim}(k+x)=k$
3. 极限存在要求左右相等：$k=-1$结论：$\boxed{{\displaystyle k=-1}}$避坑反思：$|x|$ 在 $x<0$ 时等于 $-x$，不是 $x$！这是最容易犯的错。

例 2（$e^{1/x}$ 型）

判断 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{e^{1/x}}{1+e^{1/x}}}$ 是否存在。

题型定位：极限存在性 → $e^{1/x}$ 型 识别特征：分母含 $e^{1/x}$，$x\to 0$手把手步骤：

1. 左极限 $x\to 0^{-}$：$e^{1/x}\to 0$，原式 $\to {\displaystyle \frac{0}{1+0}}=0$
2. 右极限 $x\to 0^{+}$：$e^{1/x}\to +\mathrm{\infty }$，分子分母同除 $e^{1/x}$，原式 $\to {\displaystyle \frac{1}{1/e^{1/x}+1}}=1$
3. 左右不等 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{极限不存在}}}$避坑反思：$x\to 0^{+}$ 时用除以 $e^{1/x}$ 的技巧，把无穷大转化为可算的极限。

例 3（$\arctan \frac{1}{x}$ 型）

判断 $\underset{x\to 0}{lim}\arctan \frac{1}{x}$ 是否存在。

题型定位：极限存在性 → $\arctan$ 型 识别特征：含 $\arctan \frac{1}{x}$，$x\to 0$手把手步骤：

1. 左极限 $x\to 0^{-}$：$\frac{1}{x}\to -\mathrm{\infty }$，$\arctan (-\mathrm{\infty })=-\frac{\pi }{2}$
2. 右极限 $x\to 0^{+}$：$\frac{1}{x}\to +\mathrm{\infty }$，$\arctan (+\mathrm{\infty })=\frac{\pi }{2}$
3. $-\frac{\pi }{2}\ne \frac{\pi }{2}$结论：$\boxed{{\displaystyle \text{极限不存在}}}$避坑反思：记住 $\arctan (+\mathrm{\infty })=\frac{\pi }{2}$，$\arctan (-\mathrm{\infty })=-\frac{\pi }{2}$，这是固定结论。

例 4（$|x|$ 型）

求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x}{|x|}}$。

题型定位：极限存在性 → 绝对值型 识别特征：含 $|x|$，$x\to 0$手把手步骤：

1. 左极限 $x\to 0^{-}$：$|x|=-x$，${\displaystyle \frac{x}{-x}}=-1$
2. 右极限 $x\to 0^{+}$：$|x|=x$，${\displaystyle \frac{x}{x}}=1$
3. 左右不等 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{极限不存在}}}$避坑反思：$|x|$ 在 0 处是尖点，左右行为不同，几乎所有含 $|x|$ 的极限都要分左右。

例 5（分段函数含绝对值综合）

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{|x|}{x}},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，求 $\underset{x\to 0}{lim}f(x)$。

题型定位：极限存在性 → 绝对值+分段综合 识别特征：分段函数在分界点 0 处，且含绝对值 手把手步骤：

1. 左极限 $x\to 0^{-}$：$|x|=-x$，${\displaystyle \frac{|x|}{x}}=-1$
2. 右极限 $x\to 0^{+}$：$|x|=x$，${\displaystyle \frac{|x|}{x}}=1$
3. 左右不等 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{极限不存在}}}$（尽管 $f(0)=0$ 有定义，但极限不存在） 避坑反思：函数在某点有定义，不等于该点极限存在。极限存在性只看左右极限，不看函数值。

---

六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $\underset{x\to 0}{lim}{e}^{-\frac{1}{|x|}}$ 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. $+\mathrm{\infty }$ D. 不存在

2. 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，则 $\underset{x\to 0}{lim}f(x)$（ ） A. 不存在 B. 0 C. 1 D. $\mathrm{\infty }$

填空题

3. 若 $\underset{x\to 1}{lim}f(x)$ 存在，且 $f(1^{-})=3$，则 $f(1^{+})=$ ______。

4. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{1+e^{1/x}}}$ 在 $x\to 0^{+}$ 时的极限值为 ______。

解答题

5. 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$，判断 $\underset{x\to 0}{lim}f(x)$ 是否存在，并说明理由。

---

答案与详细解析

1. 答案：A
解析：$|x|\to 0^{+}$ 恒成立，$-\frac{1}{|x|}\to -\mathrm{\infty }$，$e^{-\mathrm{\infty }}=0$。左右极限相等，极限为 0。

2. 答案：B
解析：$\underset{x\to 0}{lim}{x}^2\sin \frac{1}{x}=0$（有界量乘无穷小）。左右极限均为 0，且等于 $f(0)=0$，所以极限存在为 0。

3. 答案：$3$
解析：极限存在 $⟺$ 左右极限相等，$f(1^{+})=f(1^{-})=3$。

4. 答案：$0$
解析：$x\to 0^{+}$ 时 $e^{1/x}\to +\mathrm{\infty }$，${\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{\infty }}}=0$。

5. 答案：不存在
解析：左极限 $x\to 0^{-}$：$e^{1/x}\to 0$，原式 $\to \frac{0-1}{0+1}=-1$。右极限 $x\to 0^{+}$：$e^{1/x}\to +\mathrm{\infty }$，分子分母同除 $e^{1/x}$，原式 $\to 1$。左右不等，故极限不存在。