3.9 定积分的换元法（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：换元三件事，积分限跟着换

定积分换元和不定的区别是——换元的同时，积分限也要跟着换，最后不用回代！

换元必须做三件事：

1. 换被积函数：所有 $x$ 换成 $t$ 的表达式
2. 换 $dx$：$dx$ 换成 $dt$ 的表达式
3. 换积分限：$x$ 的上下限换成 $t$ 的上下限

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二、考点全爆破

换元公式

$${\int }_a^{b}f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx={\int }_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(u)du$$

换元前后对比

项目	不定积分	定积分
换被积函数	✅	✅
换 $dx$	✅	✅
换积分限	❌ 不用	✅ 必须
回代	✅ 必须	❌ 不用

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三、核心难点：换元后"换限"三步

套路：换限用"代入法"

示例：${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$

令 $x=\sin t$，$dx=\cos tdt$。 换限：$x=0\to t=\arcsin 0=0$；$x=1\to t=\arcsin 1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$。 ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}tdt={\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{1+\cos 2t}{2}}dt={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$。 注意：换限后用 $t$ 的限直接算，不用回代！

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：忘换积分限

定积分换元必须换限！不换限直接算，结果必错。

坑 2：换完限还回代

定积分换元后不用回代，直接用新限计算。回代反而容易出错。

坑 3：下限上限对应反

$x=a$ 对应 $t=\phi (a)$（下限对下限），$x=b$ 对应 $t=\phi (b)$（上限对上限）。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（基础换元）

求 ${\int }_0^{1}2x\sqrt{1+x^2}dx$。

题型定位：定积分换元 → 凑微分 识别特征：$2x$ 是 $x^2$ 的导数 手把手步骤：

1. 令 $u=1+x^2$，$du=2xdx$
2. 换限：$x=0\to u=1$，$x=1\to u=2$
3. ${\int }_1^2{u}^{1/2}du={\displaystyle \frac{2}{3}}{u}^{3/2}{|}_1^2$
4. $={\displaystyle \frac{2}{3}}(2\sqrt{2}-1)$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{3}}(2\sqrt{2}-1)}}$

例 2（三角换元）

求 ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$。

题型定位：定积分换元 → 三角 识别特征：$\sqrt{1-x^2}$手把手步骤：

1. 令 $x=\sin t$，$dx=\cos tdt$
2. 换限：$x=0\to t=0$，$x=1\to t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
3. ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}tdt={\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{1+\cos 2t}{2}}dt$
4. $={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}$

例 3（一次函数换元）

求 ${\int }_0^1{e}^{2x}dx$。

题型定位：定积分换元 → 一次函数 识别特征：$e^{2x}$，内层 $2x$手把手步骤：

1. 令 $u=2x$，$du=2dx$，$dx={\displaystyle \frac{1}{2}}du$
2. 换限：$x=0\to u=0$，$x=1\to u=2$
3. ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^2{e}^{u}du={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^2-1)$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}(e^2-1)}}$

例 4（对数换元）

求 ${\int }_1^e{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}dx$。

题型定位：定积分换元 → 对数 识别特征：${\displaystyle \frac{1}{x}}$ 是 $\ln x$ 的导数 手把手步骤：

1. 令 $u=\ln x$，$du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$
2. 换限：$x=1\to u=0$，$x=e\to u=1$
3. ${\int }_0^{1}udu={\displaystyle \frac{1}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

例 5（对称区间+偶函数）

求 ${\int }_{-1}^1{x}^2\sqrt{1-x^2}dx$。

题型定位：定积分换元 → 偶函数+三角 识别特征：对称区间偶函数 手把手步骤：

1. 偶函数：$=2{\int }_0^1{x}^2\sqrt{1-x^2}dx$
2. 令 $x=\sin t$：$x^2\sqrt{1-x^2}dx={\sin }^{2}t\cos t\cdot \cos tdt={\sin }^{2}t{\cos }^{2}tdt$
3. $=2{\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}2t}{4}}dt$
4. $={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{1-\cos 4t}{2}}dt={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{8}}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 定积分换元要换哪三样？（ ） A. 函数、$dx$、积分限 B. 函数、$dx$、$C$ C. $dx$、积分限、$C$ D. 只换函数

2. 定积分换元后还要回代吗？（ ） A. 要 B. 不要 C. 看情况 D. 有时要

填空题

3. ${\int }_0^1{e}^{x}dx=$ ______。

4. 换限时，$x=a$ 对应 $t=$ ______。

解答题

5. 求 ${\int }_0^{\pi /2}\cos x\cdot e^{\sin x}dx$。

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答案与详细解析

1. 答案：A2. 答案：B（用新限直接算） 3. 答案：$e-1$4. 答案：$\phi (a)$5. 答案：$e-1$（令 $u=\sin x$，$du=\cos xdx$，限 $0\to 0$、${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\to 1$，${\int }_0^1{e}^{u}du=e-1$）