1.3 函数的连续性（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：笔尖不抬起来

函数连续就是画一条线笔尖不抬起来。数学上严格讲：当自变量变化量 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，函数变化量 $\mathrm{\Delta }y\to 0$，这样才叫连续。

等价说法：$x$ 变一点点，$y$ 也只变一点点；如果 $x$ 变了一点点，$y$ 却跳了一大截，那就不连续。

初等函数连续性（重要结论！）

一切初等函数在定义区间内都是连续的。

这意味着：求初等函数在其定义区间内某点的极限 = 直接代入该点函数值。这是考试中求极限最常用的方法之一。

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二、考点全爆破

连续定义

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)\text{或}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=0$$

闭区间上连续函数的四大性质

定理	内容	生活类比
最值定理	有最大值 $M$ 和最小值 $m$	山脉有最高峰和最低谷
有界性	存在 $M$ 使 $	f(x)
介值定理	介于 $m$ 与 $M$ 之间的值都能取到	从低到高经过所有中间值
零点定理	端点异号则区间内必有根	河左岸在 $-5$，右岸在 $+3$，必过河面

零点定理（证明题必考！）

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$。

证明题万能三步走：

1. 构造辅助函数：把所有项移到一边，$F(x)=...$
2. 证连续性：$F(x)$ 在 $[a,b]$ 连续（多项式/初等函数）
3. 算端点值：$F(a)$ 和 $F(b)$ 一正一负→由零点定理得证

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三、核心难点：零点定理证明存在性 + 罗尔定理证明唯一性

这是专升本证明题的标准组合拳，考频极高。

示例：证明方程 $x^3+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。

第一步（存在性—零点定理）： 设 $f(x)=x^3+x-1$，在 $[0,1]$ 连续。$f(0)=-1<0$，$f(1)=1>0$。由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f(\xi )=0$，根存在。

第二步（唯一性—罗尔定理反证）： 假设有两个不同根 $x_1<x_2$，则 $f(x_1)=f(x_2)=0$。由罗尔定理，存在 $\eta \in (x_1,x_2)$ 使 $f^{\prime }(\eta )=0$。但 $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ 恒成立，矛盾！故根唯一。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：零点定理结论是"至少存在"，不是"唯一存在"

零点定理只保证至少有一个根，要证明唯一性必须额外用单调性或罗尔定理。

坑 2："定义区间"≠"定义域"

初等函数在定义区间内连续，但定义域可能不是区间（如 $\frac{1}{x}$ 的定义域是 $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$，不是区间，不能说在整个定义域上连续）。

坑 3：证明题不写完整步骤

证明题必须写清：函数连续→端点值→异号→由零点定理→存在。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（零点定理基础）

证明 $x^5-3x-1=0$ 在 $(1,2)$ 内至少有一个实根。

题型定位：连续性质 → 零点定理证明 识别特征：证明方程在区间内有根 手把手步骤：

1. 设 $f(x)=x^5-3x-1$，在 $[1,2]$ 连续
2. $f(1)=1-3-1=-3<0$，$f(2)=32-6-1=25>0$
3. $f(1)\cdot f(2)<0$，由零点定理 结论：存在 $\xi \in (1,2)$ 使 $f(\xi )=0$，得证。

例 2（零点定理+单调性证唯一）

证明 $x^3-3x+1=0$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。

题型定位：连续性质 → 存在+唯一 识别特征：证明"有且仅有一个" 手把手步骤：

1. 存在性：$f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$，由零点定理至少有一个根
2. 唯一性：$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，在 $(0,1)$ 上 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 严格单调递减 结论：单调函数至多一个根，结合零点定理，有且仅有一个实根。

例 3（介值定理应用）

设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，$f(0)=1$，$f(2)=5$，证明存在 $\xi \in (0,2)$ 使 $f(\xi )=3$。

题型定位：连续性质 → 介值定理 识别特征：证明函数取到中间值 手把手步骤：

1. 最值：$f$ 在 $[0,2]$ 连续，有最小值 $m$ 和最大值 $M$
2. $1$ 和 $5$ 之间至少有一个值 $\le m$ 或 $\ge M$，但 $3$ 在 $1$ 和 $5$ 之间
3. 由介值定理，存在 $\xi \in (0,2)$ 使 $f(\xi )=3$结论：得证。

例 4（初等函数连续性求极限）

求 $\underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}$。

题型定位：极限计算 → 初等函数连续性 识别特征：初等函数在其定义区间内 手把手步骤：

1. 化简：${\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}}=x+2$（$x\ne 2$）
2. 定义区间内连续，极限值=函数值：$\underset{x\to 2}{lim}(x+2)=4$结论：$\boxed{{\displaystyle 4}}$

例 5（综合：零点定理证明奇次多项式有根）

证明任意奇次多项式 $x^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\cdots +a_0=0$ 至少有一个实根。

题型定位：连续性质 → 零点定理推广 识别特征：奇次多项式，证明一定有实根 手把手步骤：

1. 设 $f(x)=x^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\cdots +a_0$，在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. $x\to -\mathrm{\infty }$ 时，$f(x)\to -\mathrm{\infty }$（最高次项 $x^{2n+1}$ 主导）
3. $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，$f(x)\to +\mathrm{\infty }$
4. 取足够大 $a$ 使 $f(a)<0$，$f(b)>0$
5. 由零点定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$结论：奇次多项式至少有一个实根。

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 零点定理要求区间端点值满足（ ） A. 都为正 B. 都为负 C. 一正一负 D. 相等

2. 闭区间上连续的函数一定有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值和最小值 D. 以上都不对

填空题

3. 介值定理是零点定理的 ______（推广/特例）。

4. 证明方程有根，第一步是 ______。

解答题

5. 证明方程 $x^4-2x^2+1=0$ 在 $(0,2)$ 内至少有一个实根。

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答案与详细解析

1. 答案：C（一正一负，乘积为负） 2. 答案：C（最值定理保证最大值和最小值都存在） 3. 答案：推广（零点定理是介值定理中 $C=0$ 的特例） 4. 答案：构造辅助函数（把所有项移到一边设 $F(x)=$ ...） 5. 答案： 设 $f(x)=x^4-2x^2+1$，$f(0)=1>0$，$f(2)=16-8+1=9>0$，端点同号，零点定理不能直接使用。但观察 $f(1)=1-2+1=0$，$x=1$ 就是根，故在 $(0,2)$ 内至少有一个实根 $x=1$。