2.10 导数的几何应用（切线与单调性）（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：导数就是切线的斜率

导数 $f^{\prime }(x_0)$ 就是曲线在 $x_0$ 处的切线斜率。

• $f^{\prime }(x)>0$ → 函数往上走（增）
• $f^{\prime }(x)<0$ → 函数往下走（减）

几何直观：滑滑梯

在滑滑梯上：往上爬（$f^{\prime }>0$）→ 上升段；往下滑（$f^{\prime }<0$）→ 下降段；平台（$f^{\prime }=0$）→ 平缓点。

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二、考点全爆破

切线方程

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

法线方程（与切线垂直）

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$$

单调性判别

条件	结论
$f^{\prime }(x)>0$ 在 $(a,b)$	$f(x)$ 单调递增
$f^{\prime }(x)<0$ 在 $(a,b)$	$f(x)$ 单调递减
$f^{\prime }(x)=0$ 恒成立	$f(x)$ 是常数

单调区间求法三步走

1. 求 $f^{\prime }(x)$
2. 解 $f^{\prime }(x)=0$ 得驻点
3. 用驻点分区间，每个区间判断 $f^{\prime }$ 符号

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三、核心难点：过某点作切线（切点不一定已知）

套路：设切点 $(x_0,f(x_0))$，列方程求解

示例：求曲线 $y=x^2$ 上过点 $(0,-1)$ 的切线。

设切点为 $(a,a^2)$，切线方程 $y-a^2=2a(x-a)$。 代入 $(0,-1)$：$-1-a^2=2a(0-a)=-2a^2$，得 $a^2=1$，$a=\pm 1$。 两条切线：$y=2x-1$ 或 $y=-2x-1$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：法线斜率写错

法线斜率为 $-{\displaystyle \frac{1}{k}}$，不是 $-k$。

坑 2：切线方程漏了 $y_0$

切线方程 $y-y_0=k(x-x_0)$，必须带 $y_0$，不能写 $y=k(x-x_0)$。

坑 3："过某点"和"在某点"区别

"在 $(x_0,y_0)$ 的切线"→ 切点已知就是该点。 "过 $(x_0,y_0)$ 的切线"→ 切点未知，要设切点解方程。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（求切线方程）

求 $y=x^3$ 在 $x=1$ 处的切线方程。

题型定位：切线 → 在某点 识别特征：明确"在 $x=1$ 处" 手把手步骤：

1. $f(1)=1$，切点 $(1,1)$
2. $f^{\prime }(x)=3x^2$，$f^{\prime }(1)=3$
3. $y-1=3(x-1)$结论：$\boxed{{\displaystyle y=3x-2}}$

例 2（求法线方程）

求 $y=x^2$ 在 $(1,1)$ 处的法线方程。

题型定位：切线 → 法线 识别特征：求法线 手把手步骤：

1. $f^{\prime }(x)=2x$，$f^{\prime }(1)=2$
2. 法线斜率 $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
3. $y-1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1)$结论：$\boxed{{\displaystyle y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}}}$

例 3（求单调区间）

求 $f(x)=x^3-3x$ 的单调区间。

题型定位：单调性 → 求区间 识别特征：多项式 手把手步骤：

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$
2. 驻点 $x=\pm 1$
3. 分区间：$(-\mathrm{\infty },-1)$：$f^{\prime }>0$ 增；$(-1,1)$：$f^{\prime }<0$ 减；$(1,\mathrm{\infty })$：$f^{\prime }>0$ 增 结论：增区间 $(-\mathrm{\infty },-1)$ 和 $(1,\mathrm{\infty })$，减区间 $(-1,1)$

例 4（过某点的切线）

求过点 $(1,0)$ 且与 $y=\ln x$ 相切的直线方程。

题型定位：切线 → 过某点 识别特征：切点未知 手把手步骤：

1. 设切点 $(a,\ln a)$，切线 $y-\ln a={\displaystyle \frac{1}{a}}(x-a)$
2. 代入 $(1,0)$：$-\ln a={\displaystyle \frac{1}{a}}(1-a)={\displaystyle \frac{1}{a}}-1$
3. 整理：$\ln a=1-{\displaystyle \frac{1}{a}}$，试 $a=1$：$0=0$ ✅
4. 切点 $(1,0)$，斜率 $1$结论：$\boxed{{\displaystyle y=x-1}}$

例 5（单调性判断）

判断 $f(x)=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上的单调性。

题型定位：单调性 → 整体判断 识别特征：整体单调性 手把手步骤：

1. $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$
2. 只在 $x=0$ 处等于 0，其余大于 0
3. $f(x)$ 单调递增 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{单调递增}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 法线斜率与切线斜率的关系（ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为负倒数 D. 无关

2. $f^{\prime }(x)>0$ 说明函数（ ） A. 单调递减 B. 单调递增 C. 有极值 D. 有拐点

填空题

3. 切线方程 $y-y_0=$ ______。

4. $f(x)=x^2$ 在 $(1,1)$ 处的切线斜率是 ______。

解答题

5. 求 $f(x)=x^2-4x+3$ 的单调区间。

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答案与详细解析

1. 答案：C（$k_{\text{法}}=-{\displaystyle \frac{1}{k_{\text{切}}}}$） 2. 答案：B3. 答案：$f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$4. 答案：$2$（$f^{\prime }(x)=2x$，$f^{\prime }(1)=2$） 5. 答案： $f^{\prime }(x)=2x-4=2(x-2)$，$x<2$ 时 $f^{\prime }<0$ 递减，$x>2$ 时 $f^{\prime }>0$ 递增。递减区间 $(-\mathrm{\infty },2)$，递增区间 $(2,\mathrm{\infty })$。