2026 黄金知识汇编（高等数学）

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第一章 函数、极限、连续

考点1. 判断函数是否为同一函数

要点

• 函数二要素：定义域、对应法则；两者都相同方为同一函数。 易错点
• 化简后解析式相同但定义域不同（如根号与绝对值、对数与幂）不算同一函数。 例题：判断各组 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是否同一函数，答案 D（$\ln x$ 与 $\ln x^3$）。

考点2. 求函数定义域

要点

• 具体函数常见限制：分式分母 $\ne 0$；偶次根号被开方式 $\ge 0$；${\log }_{a}f(x)$ 真数 $>0$；$\arcsin f(x)$、$\arccos f(x)$ 要求 $-1\le f(x)\le 1$。
• 抽象函数 $f(g(x))$：以 $f(◻)$ 内整体取值范围为准，使内层值域落入 $f$ 的定义域，求出 $x$ 范围。 易错点
• 抽象函数不能直接套原定义域；多个限制条件取交集。 例题：根式函数（被开方为二次式 $(x+4)(x-3)$）定义域 $(-\mathrm{\infty },-4]\cup [3,+\mathrm{\infty })$；已知 $f(x)$ 定义域 $[-2,2]$，求复合函数定义域，答案 $[1,3]$。

考点3. 函数的解析式、反函数的求法

要点

• 解析式求法：配凑法、换元法。
• 反函数：先反解出 $x=\phi (y)$，再互换 $x$、$y$ 得 $y=\phi (x)$。 易错点
• 反函数定义域须取原函数值域，不可随意扩大。 例题：已知 $f(x-1)=x$，求 $f(f(x))$，答案 D；已知 $y={\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}$，求反函数，答案 $f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}$。

考点4. 函数的基本性质

要点

• 单调性：$f^{\prime }(x)>0$ 单调递增，$f^{\prime }(x)<0$ 单调递减。
• 奇偶性：定义域关于原点对称，$f(-x)=f(x)$ 为偶函数，$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数。
• 奇偶运算（公共定义域上）：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。
• 有界性：识记常见有界函数 $\sin x$、$\cos x$、$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$。
• 周期性（不常考）。 易错点
• 判奇偶前先看定义域是否关于原点对称；用导数判单调须在定义域内。 例题：$f(x)=\ln x$ 在 $(0,e)$ 内严格单调递增且无界，答案 C；$y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ 为奇函数。

考点5. 数列的极限

要点

• 定义：$n\to \mathrm{\infty }$ 时数列 $\{x_n\}$ 无限趋近于常数 $a$，记 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$。
• 有理分式极限：$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_m{x}^m+\cdots +a_0}{b_n{x}^n+\cdots +b_0}}$，当 $m<n$ 为 $0$，$m=n$ 为 ${\displaystyle \frac{a_m}{b_n}}$，$m>n$ 为 $\mathrm{\infty }$。 易错点
• 比较分子分母最高次幂，而非项数；分子分母同除最高次幂。 例题：数列 $-1,{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{4}},\cdots$ 通项 $x_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}$；$1,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{8}},\cdots$ 前项和 $S_n=2(1-2^{-n})$，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=2$。

考点6. 函数的极限

要点

• 七种未定式：${\displaystyle \frac{0}{0}}$、${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$、$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$、$0\cdot \mathrm{\infty }$、$1^{\mathrm{\infty }}$、${\mathrm{\infty }}^0$、$0^0$。
• 常用方法：①约去零因式（$x\to 0$）；②除以适当无穷大（$x\to \mathrm{\infty }$，${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$）；③分子分母有理化（含根号）；④通分、倒代换（$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$）；⑤基本极限公式（${\displaystyle \frac{0}{0}}$、$1^{\mathrm{\infty }}$）；⑥等价无穷小替换；⑦无穷小性质（无穷小×有界量=无穷小）；⑧夹逼原理（放缩）；⑨取 $e$ 法/取对数法（$1^{\mathrm{\infty }}$、${\mathrm{\infty }}^0$、$0^0$）；⑩洛必达法则（${\displaystyle \frac{0}{0}}$、${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$）。 易错点
• 等价无穷小只能在乘除因子中替换，加减项不可单独替换；洛必达前须验证为未定式。 例题：$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{e^{\sin x}-e^{-\sin x}}{\sin x}}=2$。

考点7. 无穷小量的阶

要点

• 设 $lim\alpha =0,lim\beta =0$，比较 $lim\frac{\beta }{\alpha }$：为 $0$ 则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小，记 $\beta =o(\alpha )$；为 $\mathrm{\infty }$ 则低阶；为 $c\ne 0$ 则同阶；$c=1$ 即 $lim\frac{\beta }{\alpha }=1$ 时为等价无穷小，记 $\beta \sim \alpha$。 易错点
• 求阶前须确认 $\alpha ,\beta$ 均为无穷小；等价替换只用于乘除因子，加减项不可直接替换。 例题
• $x\to 0$ 时为 $x$ 的高阶无穷小的是（A. $e^x-1$ B. $x+x^2$ C. $\sin x$ D. $\cos x-1$）。答 D（$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x-1}{x}=0$）。
• $\cos x\ln (1+x)$ 与 $A{x}^k$ 等价，求 $A,k$。答 $A=1,k=1$。

考点8. 用极限解决参数问题

要点

• 已知含参极限为定值，反求参数：判定类型后比较分子分母同次幂系数，或对 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 型有理化，建立方程求解。 易错点
• $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型定值要求分子最高次不超过分母，多余高次项系数须为 0，易漏条件。 例题
• 已知含 $a,b$ 的有理分式极限为定值，求 $a,b$。答 $a=2,b=-2$。

考点9. 函数的连续性

要点

• $f(x)$ 在 $x_0$ 连续 $⟺$ ① $f(x_0)$ 有定义；② $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在；③ $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$。分段点须用左右极限判定。 易错点
• 只验极限存在不验是否等于 $f(x_0)$。 例题
• 分段函数在分段点 $x_0$ 连续，求 $a$。由 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$ 得 $a=e^{x_0}$。

考点10. 求函数的间断点及其类型

要点

• 第一类（左右极限均存在）：可去——$f(x_0^{-})=f(x_0^{+})$；跳跃——$f(x_0^{-})\ne f(x_0^{+})$。
• 第二类（左右极限至少一个不存在）：无穷间断点 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$。 易错点
• 须先求左右极限再分类，勿只看单侧；可去与跳跃的区别在左右极限是否相等。 例题
• 函数在 $x_0$ 处左右极限均存在但不相等。答：跳跃间断点。

考点11. 求渐近线

要点

• 水平：$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\Rightarrow y=A$（分别考查 $x\to \pm \mathrm{\infty }$）。
• 垂直：$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=x_0$（常在分母零点、对数真数零点处）。
• 斜：$y=ax+b$，$a=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}$，$b=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-ax]$。 易错点
• 不同方向可有不同渐近线，须分别求；$a=0$ 时退化为水平，勿重复计。 例题
• 求含 $e^x,\ln (1+x)$ 的函数的渐近线。答：水平 $y=0$、垂直 $x=-1$、斜 $y=x$。

考点12. 零点定理、介值定理相关证明

要点

• 零点定理：$f$ 在 $[a,b]$ 连续且 $f(a)f(b)<0$，则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b),f(\xi )=0$。
• 介值定理：$f$ 在 $[a,b]$ 连续，$A=f(a),B=f(b)$，对 $A,B$ 之间任一 $C$，$\mathrm{\exists }\xi \in [a,b],f(\xi )=C$。
• 存在性用定理，唯一性用单调性（导数符号）。 易错点
• 须验证闭区间连续且端点值异号；单调性须在整个区间成立。 例题
• 证 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一实根。由 $f(0)f(1)<0$ 及零点定理证存在，由 $f^{\prime }(x)<0$（单调递减）证唯一。

第二章 一元函数微分学

考点13. 导数的定义（两个公式）、左导数与右导数

要点

• 导数定义两个等价公式：$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}}$，及 $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$。
• 左导数 $f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$，右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$。
• $f^{\prime }(x_0)$ 存在 ⟺ $f_{-}^{\prime }(x_0)$、$f_{+}^{\prime }(x_0)$ 都存在且相等。
• 判断某极限是否为 $f^{\prime }(x_0)$，须化为上述定义形式；广义化后符合定义即可。

易错点

• 注意差商方向：${\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ 才是 $f^{\prime }(x_0)$，写成 ${\displaystyle \frac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0}}$ 会差一个负号。
• 左、右导数都存在还不够，须相等才算可导。

例（选择）：$f(x)$ 在 $x_0$ 可导，则 $f^{\prime }(x_0)=$ ？四个极限形式中选符合定义 $\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ 者（答案 C）。

考点14. 导数的几何意义、斜率与切线方程

要点

• 几何意义：$f^{\prime }(x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在切点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$。
• 切线方程：$y-y_0=k(x-x_0)$，即 $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。
• 步骤：求 $f^{\prime }(x)$，代入 $x_0$ 得斜率，再代入切点写出方程。

易错点

• 斜率须用切点处的导数值，不能用导函数代替。
• 切点须同时在曲线与切线上，注意验算。

例：求曲线 $y=2x+\ln x$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程。答：$y=3x-1$。

考点15. 连续与可导的关系

要点

• 可导必连续：函数在某点可导，则在该点一定连续。
• 连续不一定可导：在某点连续未必可导（如 $y=|x|$ 在 $x=0$）。
• 分段函数在分段点可导 ⇒ 先连续（左、右极限相等且等于函数值），再左、右导数相等。

易错点

• 分段点判定须分两步：先验连续，再验左右导数相等，缺一不可。
• 由连续推不出可导，不可省略导数检验。

例：$a,b$ 为何值时 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ ax+b,& x>1\end{array}$ 在 $x=1$ 可导？答：由连续得 $a+b=1$，由左右导数相等得 $a=2$，故 $b=-1$。

考点16. 显函数、反函数、参数方程求导

要点

• 显函数直接套基本求导公式及和差积商、链式法则。
• 反函数求导：若 $y=f(x)$ 反函数为 $x=\phi (y)$，则 ${\phi }^{\prime }(y)={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(x)}}$。
• 参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$：${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}}$，切线由对应 $t$ 的点与斜率写出。

易错点

• 反函数求导自变量为 $y$，变量关系易搞反。
• 参数方程是 ${\psi }^{\prime }(t)/{\phi }^{\prime }(t)$，不可分别对 $x$ 求导。

考点17. 隐函数、对数求导法、幂指函数、复合函数、高阶导数

要点

• 隐函数求导：两边对 $x$ 求导解出 $y^{\prime }$；或用 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}}$。
• 对数求导法：两边取对数再求导，适用于幂指函数与连乘积。
• 幂指函数 $u(x{)}^{v(x)}$：取 $e$ 法 $y=e^{v\ln u}$，或两边取对数。
• 复合函数 $y=f(u),u=\phi (x)$：${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{dy}{du}}\cdot {\displaystyle \frac{du}{dx}}$。
• 高阶导数：依次求一、二、三阶，归纳通项。

易错点

• 隐函数求导时 $y$ 视为 $x$ 的函数，须用链式法则。
• 幂指函数不能用幂法则或指数法则直接求导。

例题

• $y=(1+\sin x{)}^{\cos x}$，$y^{\prime }=(1+\sin x{)}^{\cos x}[\cos x\ln \cos x-\tan x\sin x]$。
• $y=2^x$，则 $y^{(n)}=2^x(\ln 2{)}^n$。

考点18. 微分

要点

• 微分 $dy=f^{\prime }(x)dx$；基本初等函数微分即对应导数乘 $dx$（如 $d(x^{\mu })=\mu x^{\mu -1}dx$、$d(\sin x)=\cos xdx$、$d(e^x)=e^{x}dx$）。
• 易错：$d({\log }_{a}x)={\displaystyle \frac{dx}{x\ln a}}$（勿漏 $\ln a$）；$d(\arcsin x)={\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$、$d(\arctan x)={\displaystyle \frac{dx}{1+x^2}}$，而 $\arccos$、$\mathrm{arccot}$ 取负。
• 一阶微分形式不变性：$dy=f^{\prime }(u)du=f^{\prime }(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx$。

例题

• $y=x\arcsin {\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{4-x^2}$，则 $dy=\arcsin {\displaystyle \frac{x}{2}}dx$。

第三章 微分中值定理与导数的应用

考点19. 罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论

要点

• 罗尔定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导、$f(a)=f(b)$，则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=0$。
• 拉格朗日中值定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，则 $\mathrm{\exists }\xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$。
• 证含 $\xi$ 等式常构造辅助函数用罗尔定理；证不等式常用拉格朗日中值定理。

易错点

• 连续、可导、端点值相等三条件须同时满足；$\xi$ 在开区间 $(a,b)$ 内。

例题

• 判断函数满足罗尔定理条件（答案 D；A、B 不连续，C 端点值不等）。
• $f(x)=x^3-3x^2$ 在 $[0,3]$ 上满足罗尔定理，则 $\xi =2$（答案 A）。

考点20. 单调性、极值、最值

要点

• 单调性：$f^{\prime }(x)>0$ 单调增，$f^{\prime }(x)<0$ 单调减（要求连续可导）。
• 极值步骤：①求定义域与 $f^{\prime }(x)$；②求驻点 $f^{\prime }(x)=0$ 及不可导点；③用一阶导符号变化或二阶导判定。
• 第二充分条件：驻点 $x_0$ 处 $f^{″}(x_0)>0$ 极小，$f^{″}(x_0)<0$ 极大。
• 最值步骤：比较端点、驻点、不可导点处函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。

易错点

• 驻点未必是极值点，须验证导数符号变化；极值局部、最值整体，不可混用。

例题

• $f(x)=x^4-2x^2$：$x=0$ 极大值 $0$，$x=\pm 1$ 极小值 $-1$。

考点21. 拐点及凹凸区间

要点

• 凹凸性：$f^{″}(x)>0$ 凹，$f^{″}(x)<0$ 凸。
• 拐点：曲线上凹凸性改变的点 $(x_0,f(x_0))$。
• 必要条件：$f^{″}(x_0)=0$ 或不存在。
• 充分条件：$x_0$ 左右 $f^{″}(x)$ 异号为拐点，同号不是。

易错点

• 拐点须写成 $(x_0,f(x_0))$，不能只写横坐标；$f^{″}(x_0)=0$ 不一定是拐点，须看两侧符号。

例题

• $y=e^{x^2}$：$y^{″}=(2+4x^2)e^{x^2}>0$，在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内凹。
• $(1,3)$ 是 $y=a{x}^3+b{x}^2$ 的拐点，解得 $a=-\frac{3}{2},b=\frac{9}{2}$，凹区间 $(-\mathrm{\infty },1)$，凸区间 $(1,+\mathrm{\infty })$。

第四章 不定积分

考点22. 原函数、不定积分的定义及性质

要点

• 若 $F^{\prime }(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数；不定积分 $\int f(x)dx$ 表示全体原函数 $F(x)+C$。
• 性质1：${\displaystyle \frac{d}{dx}}\int f(x)dx=f(x)$，$\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$。
• 性质2：$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$。
• 性质3：$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$（$k$ 为常数）。
• 基本公式：$\int x^{k}dx={\displaystyle \frac{x^{k+1}}{k+1}}+C$；$\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=\ln |x|+C$；$\int e^{x}dx=e^x+C$；$\int \sin xdx=-\cos x+C$；$\int \cos xdx=\sin x+C$；$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$；$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$；$\int {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}=\arcsin x+C$；$\int {\displaystyle \frac{dx}{1+x^2}}=\arctan x+C$。

易错点

• $\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx$ 须带绝对值 $\ln |x|+C$，不可漏绝对值。
• 不定积分结果必加任意常数 $C$。

考点23. 第一换元法（凑微分法）

要点

• 核心思想：在被积函数中配对 $\phi (x)$ 与 ${\phi }^{\prime }(x)$，凑成 $f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx$，令 $u=\phi (x)$ 积分。
• 常用凑微分：$e^{x}dx=d(e^x)$，$\cos xdx=d(\sin x)$，$xdx=d(\frac{x^2}{2})$。
• 例：$\int \sin 2xdx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$。

考点24. 第二换元法

要点

• 含三角换元与根式换元，恒等式：${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$，${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$。
• 含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 令 $x=a\sin t$；含 $\sqrt{x^2-a^2}$ 令 $x=a\sec t$；含根式整体可令 $t$ 为根式直接代换。
• 例：$\int \sqrt{4-x^2}dx=2\arcsin {\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}\sqrt{4-x^2}+C$。

考点25. 分部积分法

要点

• 公式：$\int udv=uv-\int vdu$（即 $\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$）。
• 选 $u$ 优先序：反、对、幂、指、三（反三角函数→对数→幂→指数→三角）。
• 循环型（如 $\int e^x\sin xdx$）设 $I$ 列方程回代求解。

第五章 定积分

考点26. 定积分的定义

要点

• ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 的值只与被积函数 $f$ 和积分区间 $[a,b]$ 有关，与积分变量字母无关。
• ${\int }_a^{b}kdx=k(b-a)$。

考点27. 定积分的几何意义

要点

• $f(x)⩾0$：等于由 $y=f(x),x=a,x=b$ 与 $x$ 轴围成曲边梯形的面积。
• $f(x)⩽0$：等于该面积的相反数。
• $f(x)$ 有正有负：等于 $x$ 轴上方面积减下方面积之差。
• 例：${\int }_a^{b}1dx=b-a$（矩形面积）。

考点28. 定积分的性质

要点

• 性质1（线性性）：${\int }_a^b[f(x)\pm g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$。
• 性质2（常数因子）：${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$。
• 性质3（区间可加性）：${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$（$a,b,c$ 相对位置任意）。
• 性质4（保号性）：若在 $[a,b]$ 上 $f(x)⩾0$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx⩾0$。
• 推论1：$f(x)⩽g(x)\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)dx⩽{\int }_a^{b}g(x)dx$。
• 推论2：$|{\int }_a^{b}f(x)dx|⩽{\int }_a^b|f(x)|dx$。

考点29. 变限积分

要点

• 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，称 $\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 为变上限积分函数，则 ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=f(x)$。
• 一般地，${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_a^{\phi (x)}f(t)dt=f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)$。
• 含变限积分的 “$0/0$” 型极限，常结合洛必达法则与变上限求导计算。 易错点
• 求导对象是上限 $x$，积分变量须用 $t$；上限为 $\phi (x)$ 时勿漏乘 ${\phi }^{\prime }(x)$。
• 例：求 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\int }_0^x\cos tdt}{x}}$，答案 $1$。

考点30. 定积分的计算

要点

• 牛顿—莱布尼茨公式：${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$（$F$ 为 $f$ 的原函数）。
• 换元法：令 $x=\phi (t)$，$\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt$，换元必换限。
• 分部积分法：${\displaystyle {\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu}$。 易错点
• 换元后忘记同步改变上下限；对称区间可先用奇偶性化简。
• 例 1：计算 ${\int }_1^2\ln xdx$，答案 $2\ln 2-1$。
• 例 2：求含根式定积分（换元 $t=\sqrt{x}$），答案 $2$。

考点31. 奇偶函数在对称区间上的定积分

要点

• 设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 连续：

$$f\text{ 为奇函数}\Rightarrow {\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0;f\text{ 为偶函数}\Rightarrow {\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx.$$

易错点

• 须判定被积函数整体的奇偶性（含 $|x|$、$e^{x^2}$ 等需逐项分析）。
• 例：${\displaystyle {\int }_{-a}^a{x}^3|x|e^{x^2}dx}$，答案 $0$（被积函数为奇函数）。

考点32. 广义积分

要点

• ${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)dx}$；${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)dx}$。
• ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{c}f(x)dx+{\int }_c^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx}$，两段都收敛才收敛。 易错点
• 取极限后须判断是否收敛；区间内有瑕点时按瑕积分处理。
• 例：求 ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x{e}^{-x^2}dx}$，答案 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$。

第六章 定积分的应用

考点33. 定积分的应用

要点

• 平面图形面积：$A={\int }_a^b|f(x)|dx$（取绝对值，避免负面积）。
• 绕 $x$ 轴旋转体体积：$V_x=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$。
• 绕 $y$ 轴旋转体体积：$V_y=\pi {\int }_c^d[g(y){]}^{2}dy$。 易错点
• 面积用上函数减下函数（或取绝对值）；体积公式中被积式须平方。
• 例 1：由 $y^2=8x$ 与 $x^2=8y$ 所围平面图形的面积，答案 ${\displaystyle \frac{64}{3}}$。
• 例 2：$x\in [0,\pi /4]$，$D$ 由 $y=\sin x$、$y=\cos x$ 及 $y$ 轴围成；(1) 面积；(2) 绕 $x$ 轴旋转体体积。答案：(1) $\sqrt{2}-1$；(2) ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$。

第七章 常微分方程

考点34. 可分离变量方程

要点

• 形如 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(x)g(y)$，分离变量得 ${\displaystyle \frac{dy}{g(y)}}=f(x)dx$。
• 两边积分：${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dy}{g(y)}}=\int f(x)dx+C}$，即得通解。 易错点
• 分离后两边对各自变量积分；$g(y)=0$ 对应的常数解勿遗漏。

考点35. 齐次微分方程

要点

• 形如 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)$。
• 令 $u={\displaystyle \frac{y}{x}}$，即 $y=ux$，则 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=u+x{\displaystyle \frac{du}{dx}}$。
• 代入得 $x{\displaystyle \frac{du}{dx}}=f(u)-u$，即 ${\displaystyle \frac{du}{f(u)-u}}={\displaystyle \frac{dx}{x}}$，积分后再以 $u=y/x$ 代回得通解。 易错点
• 换元后 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=u+x{u}^{\prime }$，勿漏 $u$ 项；最后须代回原变量。

考点36. 一阶线性方程

要点

• 形如 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$，通解为

$$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C).$$

易错点

• 须先化为标准形式（$y^{\prime }$ 系数为 1）再套公式；积分常数只加一处。
• 例：求 $x{y}^{\prime }+y=x\cos x$ 的通解，答案 $y=\sin x+{\displaystyle \frac{\cos x+C}{x}}$。

考点37. 二阶常系数齐次微分方程

要点

• 形如 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$（$p,q$ 为常数），特征方程 $r^2+pr+q=0$。
• 两不等实根 $r_1\ne r_2$：$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$。
• 两相等实根 $r_1=r_2=r$：$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$。
• 共轭复根 $r=\alpha \pm i\beta$：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$。 易错点
• 特征方程勿写错符号；复根情形须写成 $e^{\alpha x}(\cos \beta x,\sin \beta x)$ 形式。
• 例：求 $y^{″}+2y^{\prime }+5y=0$ 的通解，答案 $y=e^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)$。

第八章 向量代数与空间解析几何

考点38. 向量的线性运算

要点 以 ${\mathbb{R}}^3$ 为例，设 $\mathbf{a}=\{a_x,a_y,a_z\}$，$\mathbf{b}=\{b_x,b_y,b_z\}$，即 $\mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}$，$\mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k}$。

• 加法：$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\{a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z\}$
• 减法：$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\{a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z\}$
• 数乘：$\lambda \mathbf{a}=\{\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z\}$（$\lambda$ 为常数）

记忆提示 线性运算 = 对应分量分别做同一运算；数乘只缩放不改方向（$\lambda >0$ 同向，$\lambda <0$ 反向）。

考点39. 向量的模、方向角、投影

要点

• 模：${\mathbb{R}}^2$ 中 $|\mathbf{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$；${\mathbb{R}}^3$ 中 $|\mathbf{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$。
• 方向角、方向余弦：设 $\mathbf{a}=\{a_x,a_y,a_z\}$ 与三坐标轴夹角为 $\alpha ,\beta ,\gamma$（$0\le \alpha ,\beta ,\gamma \le \pi$），称为方向角，其余弦$$\cos \alpha =\frac{a_x}{|\mathbf{a}|},\cos \beta =\frac{a_y}{|\mathbf{a}|},\cos \gamma =\frac{a_z}{|\mathbf{a}|}$$恒有 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$。与 $\mathbf{a}$ 同向的单位向量 ${\mathbf{a}}^0={\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}}=\{\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \}$。
• 投影：设 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 夹角为 $\theta$，则 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 上的投影 ${\mathrm{Prj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=|\mathbf{a}|\cos \theta$；$\mathbf{b}$ 在 $\mathbf{a}$ 上的投影 ${\mathrm{Prj}}_{\mathbf{a}}\mathbf{b}=|\mathbf{b}|\cos \theta$。

易错点 方向余弦平方和为 $1$（不是模的平方）；投影带符号（$\cos \theta$ 可为负）。

考点40. 向量的数量积（点积、内积）

要点

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta =a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$$

运算律：

• 交换律：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$
• 分配律：$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$
• 结合律：$(\lambda \mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot (\lambda \mathbf{b})=\lambda (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$

记忆提示 点积结果是数；坐标式 = 对应分量相乘再相加。

考点41. 数量积的性质

要点

1. $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2$；
2. 两非零向量 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ $\iff$ $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$；
3. 交换律：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$；
4. 分配律：$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$；
5. $(\lambda \mathbf{a})\cdot \mathbf{c}=\lambda (\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})$（$\lambda$ 为常数）。

易错点 垂直判定用点积为 $0$；求模用 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2$（注意开方）。

考点42. 向量的向量积

要点

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|=(a_y{b}_z-a_z{b}_y)\mathbf{i}+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)\mathbf{j}+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)\mathbf{k}$$

运算律：

• 反交换律：$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$
• 分配律：$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}$
• 结合律：$(\lambda \mathbf{a})\times \mathbf{b}=\mathbf{a}\times (\lambda \mathbf{b})=\lambda (\mathbf{a}\times \mathbf{b})$

记忆提示 向量积结果是向量；几何意义 $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$，方向由右手法则确定，垂直于 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 所在平面；$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}\iff \mathbf{a}\times \mathbf{b}=\mathbf{0}$。

易错点 反交换（交换变号）；展开 $\mathbf{j}$ 分量时整体带负号，易漏。

考点43. 平面方程

要点

• 点法式（过点 $(x_0,y_0,z_0)$，法向量 $\mathbf{n}=\{A,B,C\}$）：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
• 一般式：$Ax+By+Cz+D=0$（法向量 $\mathbf{n}=\{A,B,C\}$）
• 截距式：${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}+{\displaystyle \frac{z}{c}}=1$（$a,b,c$ 为三轴截距）
• 点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离：$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

例 设平面过原点及点 $(6,3,-2)$，且与平面 $4x-y+2z=0$ 垂直，求该平面方程。

• 过原点 $\Rightarrow$ 设 $Ax+By+Cz=0$；过 $(6,3,-2)$ $\Rightarrow$ $6A+3B-2C=0$。
• 与 $4x-y+2z=0$（法向量 $\{4,-1,2\}$）垂直 $\Rightarrow$ 法向量点积为 $0$：$4A-B+2C=0$。
• 联立解得 $A:B:C=2:-10:-9$。
• 答：$2x-10y-9z=0$。

易错点 两平面垂直 $\iff$ 法向量点积为 $0$（不是法向量平行）；过原点时 $D=0$。

考点44. 空间直线方程

要点

• 点向式（对称式，过点 $(x_0,y_0,z_0)$，方向向量 $\mathbf{s}=\{m,n,p\}$）：$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$
• 参数式：$x=x_0+mt,y=y_0+nt,z=z_0+pt$（$t$ 为参数）

例 求过点 $(3,2,-5)$ 且与两平面 $x-z=0$、$2x-y+z=0$ 的交线平行的直线方程。

• 直线平行于两平面交线 $\Rightarrow$ 方向向量 $\mathbf{s}$ 与两平面法向量 ${\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2$ 都垂直，取 $\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$。
• ${\mathbf{n}}_1=\{1,0,-1\}$，${\mathbf{n}}_2=\{2,-1,1\}$，$\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=\{-1,-3,-1\}\propto \{1,3,1\}$。
• 答（对称式）：${\displaystyle \frac{x-3}{1}}={\displaystyle \frac{y-2}{3}}={\displaystyle \frac{z+5}{1}}$。

记忆提示 两平面交线的方向向量 = 两法向量的向量积。

考点45. 直线与直线的关系

要点 设两直线方向向量 ${\mathbf{s}}_1=\{m_1,n_1,p_1\}$，${\mathbf{s}}_2=\{m_2,n_2,p_2\}$。

• 垂直：${\mathbf{s}}_1\perp {\mathbf{s}}_2$ $\iff$ $m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2=0$
• 平行：${\mathbf{s}}_1\parallel {\mathbf{s}}_2$ $\iff$ ${\displaystyle \frac{m_1}{m_2}}={\displaystyle \frac{n_1}{n_2}}={\displaystyle \frac{p_1}{p_2}}$
• 夹角 $\phi$（方向向量夹角）：$$\cos \phi =\frac{m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$$

考点46. 平面与平面的关系

要点 设 ${\pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$，${\mathbf{n}}_1=\{A_1,B_1,C_1\}$；${\pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$，${\mathbf{n}}_2=\{A_2,B_2,C_2\}$。

• 垂直：${\mathbf{n}}_1\perp {\mathbf{n}}_2$ $\iff$ $A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$
• 平行：${\mathbf{n}}_1\parallel {\mathbf{n}}_2$ $\iff$ ${\displaystyle \frac{A_1}{A_2}}={\displaystyle \frac{B_1}{B_2}}={\displaystyle \frac{C_1}{C_2}}$
• 重合：在平行基础上再满足 ${\displaystyle \frac{A_1}{A_2}}={\displaystyle \frac{B_1}{B_2}}={\displaystyle \frac{C_1}{C_2}}={\displaystyle \frac{D_1}{D_2}}$（可取一点代入验证）
• 夹角 $\theta$ 余弦：$$\cos \theta =\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

易错点 平面夹角公式取绝对值（取锐角）；平行 $\ne$ 重合，需用 $D$ 判定。

考点47. 直线与平面的关系

要点 设直线方向向量 $\mathbf{s}=\{m,n,p\}$，平面法向量 $\mathbf{n}=\{A,B,C\}$。

• 直线与平面垂直：$\mathbf{s}\parallel \mathbf{n}$ $\iff$ ${\displaystyle \frac{m}{A}}={\displaystyle \frac{n}{B}}={\displaystyle \frac{p}{C}}$
• 直线与平面平行：$\mathbf{s}\perp \mathbf{n}$ $\iff$ $Am+Bn+Cp=0$

记忆提示 线 $\perp$ 面 $\iff$ 方向向量 $\parallel$ 法向量；线 $\parallel$ 面 $\iff$ 方向向量 $\perp$ 法向量（点积为 $0$）。若直线上有一点在面上，则直线落在面内。

第九章 多元函数微分法及其应用

考点48. 多元函数的定义域、解析式

要点

• $z=f(x,y)$ 的图形为空间曲面，定义域 $D$ 为该曲面在 $xOy$ 平面上的投影区域。
• 求定义域：使解析式有意义，约束同一元（对数真数 $>0$、分母 $\ne 0$、偶次根号 $\ge 0$），取交集。
• 求解析式：变量代换法（令 $u=\phi (x,y)$、$v=\psi (x,y)$ 凑 $f(u,v)$）或函数方程法。

易错点

• 多约束须同时满足；定义域是平面点集，勿写区间。
• 换元后须还原为 $x,y$，未还原易错。

考点49. 多元函数的极限

要点

• ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=A}$：$(x,y)$ 以任意方式趋于 $(x_0,y_0)$ 时 $f$ 趋于同一常数。
• 方法：转化为一元求极限，借 $\underset{t\to 0}{lim}(1+t{)}^{1/t}=e$；如 ${(1+{\displaystyle \frac{a}{x+y}})}^{x+y}\to e^a$。

易错点

• 极限须任意路径趋同，仅沿某路径存在不代表整体存在。
• 须先判存在性再求值，不可只取特殊路径代入。

考点50. 偏导数的求法、全微分

要点

• 偏导定义：$f_x={\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}}}$，对某变量求导时其余变量当常数。
• 高阶偏导：$z_{xx}={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}$，$z_{xy}={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$，$z_{yx}={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}}$ 等。
• 全微分：$dz={\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}dx+{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}dy$。

易错点

• 求某变量偏导时须把其余变量当常数，勿误用链式法则。
• $z_{xy}$ 与 $z_{yx}$ 仅在二阶偏导连续时相等，不可默认相等。

考点51. 复合函数的导数

要点

• 链式法则（多中间变量）：$z=f(u,v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，则 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}={\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}$，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}={\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}+{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}$。
• 全导数：$z=f(u,v)$，$u=u(x)$，$v=v(x)$，则 ${\displaystyle \frac{dz}{dx}}={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}{\displaystyle \frac{du}{dx}}+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}{\displaystyle \frac{dv}{dx}}$。

易错点

• 漏乘中间变量偏导链；中间变量为一元时用全导 $d$ 而非偏导 $\partial$。

考点52. 隐函数的求导

要点

• 一元：$F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$，则 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}}$（$F_y^{\prime }\ne 0$）。
• 二元：$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$，则 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=-{\displaystyle \frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}}$，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}=-{\displaystyle \frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}}$（$F_z^{\prime }\ne 0$）。

易错点

• 公式负号易漏，分母为 $F_z^{\prime }$ 或 $F_y^{\prime }$，不可颠倒。
• 求二阶偏导时 $z$ 仍为 $x,y$ 函数，须继续链式求导。

考点53. 二元函数的极值

要点

• 必要条件：极值点必为驻点，即 $f_x=0$ 且 $f_y=0$。
• 设 $A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$，判别式 $\mathrm{\Delta }=AC-B^2$：
  • ① $\mathrm{\Delta }>0$ 为极值点，$A<0$ 极大，$A>0$ 极小；
  • ② $\mathrm{\Delta }<0$ 非极值点；③ $\mathrm{\Delta }=0$ 不定，另行判别。

易错点

• 驻点未必是极值点（如 $\mathrm{\Delta }<0$）。
• 判别式为 $AC-B^2$，符号勿反。

考点54. 方向导数的计算

要点

• 二元（方向单位向量 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$）：${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}}={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\cos \alpha +{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}\sin \alpha$。
• 三元（方向单位向量 $(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$）：${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial l}}={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\cos \alpha +{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}\cos \beta +{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}}\cos \gamma$。
• 梯度 $\mathrm{grad}f=(f_x,f_y,f_z)$，方向导数即梯度与方向单位向量的点积。
• 例：$f=xyz$，$\mathrm{grad}f(1,-1,2)=(yz,xz,xy){|}_{(1,-1,2)}$。

易错点

• 方向向量须先单位化，否则结果偏差。
• 梯度是向量、方向导数是标量，二者不可混用。

第十章 二重积分

考点55. 二重积分的几何意义、性质

要点

• 几何意义：${\iint }_{D}fd\sigma$ 为数值；$f\ge 0$ 时为以 $D$ 为底、$z=f$ 为顶的曲顶柱体体积，$f\le 0$ 时取相反数。
• 线性性：${\iint }_D[kf\pm g]d\sigma =k{\iint }_{D}fd\sigma \pm {\iint }_{D}gd\sigma$。
• 区域可加性：$D=D_1\cup D_2$（无公共内部）$\Rightarrow {\iint }_{D}fd\sigma ={\iint }_{D_1}fd\sigma +{\iint }_{D_2}fd\sigma$。
• 保号/保序：$f\ge 0\Rightarrow {\iint }_{D}fd\sigma \ge 0$；$f\le g\Rightarrow {\iint }_{D}fd\sigma \le {\iint }_{D}gd\sigma$。
• 估值定理：$m\sigma \le {\iint }_{D}fd\sigma \le M\sigma$（$m,M$ 为最值，$\sigma$ 为 $D$ 面积）。
• 中值定理：$f$ 在闭区域 $D$ 连续，存在 $(\xi ,\eta )\in D$ 使 ${\iint }_{D}fd\sigma =f(\xi ,\eta )\sigma$。
• 奇偶对称性：区域关于坐标轴对称时结合被积函数奇偶性可简化。

易错点

• 几何意义符号由被积函数正负决定，不能默认取正；中值定理要求闭区域连续。

考点56. 交换积分次序

要点

• 方法：准确画出积分区域，按另一方向重新确定上下限。
• 关键是把原二次积分还原为区域 $D$，再用另一种次序重新分割表示。

易错点

• 不能直接翻转上下限，必须重画区域边界；分段区域易漏。

考点57. 直角坐标系下的二重积分

要点

• 面积元素 $d\sigma =dxdy$，${\iint }_{D}fd\sigma ={\iint }_{D}fdxdy$。
• X 型（先 $y$ 后 $x$）：$a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)$，${\iint }_{D}fdxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}fdy$。
• Y 型（先 $x$ 后 $y$）：$c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)$，${\iint }_{D}fdxdy={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}fdx$。
• 极坐标：$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,d\sigma =rdrd\theta$，${\iint }_{D}fd\sigma ={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$。
• 极点在区域外、边界上、内部三种情形分别定 $r,\theta$ 上下限。

易错点

• 极坐标勿漏面积元素中的 $r$；据区域形状选次序，避免一方向积不出。

第十一章 曲线积分与曲面积分

考点58. 格林公式

要点

• 格林公式：$$\oint_L P,dx+Q,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$
• $L$ 为正向闭曲线，$D$ 为所围区域，$P,Q$ 在 $D$ 上一阶连续偏导；用于把闭曲线第二类曲线积分转化为二重积分。

易错点

• 须为正向（逆时针）闭曲线；非闭曲线需补线后用。

第十二章 无穷级数

考点59. 无穷级数的概念

要点

• 收敛充要条件：部分和 $S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$ 极限存在且唯一，即 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=S$。
• 收敛必要条件：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$（非充分）。
• 线性性：$\sum (u_n\pm v_n)=\sum u_n\pm \sum v_n$，$\sum k{u}_n=k\sum u_n$。
• 收敛 $+$ 发散 $=$ 发散；发散 $+$ 发散 $=$ 不确定。

易错点

• $lim{u}_n=0$ 不能推出收敛（如调和级数 $\sum 1/n$ 发散）。

考点60. 正项级数敛散性的判断

要点

• 比较判别法：$u_n\le c{v}_n$，则 $\sum v_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum u_n$ 收敛；$\sum u_n$ 发散 $\Rightarrow \sum v_n$ 发散。
• 极限形式：$lim{u}_n/v_n=l$。$0<l<+\mathrm{\infty }$ 同敛散；$l=0$ 时 $v$ 收敛 $\Rightarrow u$ 收敛；$l=+\mathrm{\infty }$ 时 $v$ 发散 $\Rightarrow u$ 发散。
• 尺度：等比级数 $\sum q^n$ 当 $|q|<1$ 收敛、$|q|\ge 1$ 发散；p-级数 $\sum 1/n^p$ 当 $p>1$ 收敛、$p\le 1$ 发散。
• 比值判别法：$lim{u}_{n+1}/u_n=l$，$l<1$ 收敛、$l>1$ 发散、$l=1$ 不确定。

易错点

• 比值法 $l=1$ 失效，须换比较法另行讨论。

考点61. 任意项级数的理论与性质

要点

• 绝对收敛：$\sum |u_n|$ 收敛 $\Rightarrow \sum u_n$ 收敛（绝对收敛必收敛）。
• 条件收敛：$\sum u_n$ 收敛但 $\sum |u_n|$ 发散。
• 莱布尼茨判别法：交错级数 $\sum (-1{)}^{n-1}{u}_n$，若 $lim{u}_n=0$ 且 $\{u_n\}$ 单调减少，则收敛。

易错点

• 莱布尼茨需同时满足通项趋于 $0$ 与单调递减。

考点62. 幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域

要点

• 收敛半径：$\rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|$，$$R=\begin{cases}1/\rho,&\rho\ne0\+\infty,&\rho=0\0,&\rho=+\infty\end{cases}$$
• 收敛区间为 $(x_0-R,x_0+R)$。
• 收敛域需讨论端点 $x=\pm R$ 收敛性，取四种区间之一。
• 缺项级数（如缺偶次幂项）不能套公式，用比值审敛法讨论。

易错点

• 收敛区间不含端点，收敛域才需判端点。

考点63. 常见函数的麦克劳林级数（带皮亚诺余项）

要点

• $e^x=1+x+x^2/2!+\cdots +x^n/n!+o(x^n)$。
• $\sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-\cdots +o(x^{2n+1})$。
• $\cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-\cdots +o(x^{2n})$。
• $\ln (1+x)=x-x^2/2+x^3/3-\cdots +(-1{)}^{n-1}{x}^n/n+o(x^n)$。
• $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\alpha (\alpha -1)x^2/2!+\cdots +o(x^n)$。

易错点

• 各展开式余项阶数不同（$\sin$ 为 $o(x^{2n+1})$，$\cos$ 为 $o(x^{2n})$），勿混用。