2.11 函数的极值与曲线凹凸性（专升本全勤版）

一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：找山顶和谷底

极值就是函数在某个局部的"山顶"（极大）或"谷底"（极小）。

凹凸性就是曲线是凹（碗）还是凸（帽子）：

$f^{″} (x) > 0$ → 凹（像碗，向上弯）
$f^{″} (x) < 0$ → 凸（像帽子，向下弯）

为什么 $f^{″} (x)$ 能判断凹凸？

$f^{″} (x) > 0$ 说明 $f^{'} (x)$ 递增——斜率越来越大，曲线自然往上翘（凹）。

函数的极值与凹凸性：极大/极小值点与拐点

二、考点全爆破

极值判别法

必要条件：极值点处 $f^{'} (x) = 0$ （驻点）或 $f^{'} (x)$ 不存在。

第一充分条件（看 $f^{'}$ 符号变化）：

$f^{'} (x)$ 变化	结论
左正右负	极大值
左负右正	极小值
不变号	非极值

第二充分条件（看 $f^{″}$ 符号）：

条件	结论
$f^{'} (x_{0}) = 0$ ， $f^{″} (x_{0}) > 0$	极小值
$f^{'} (x_{0}) = 0$ ， $f^{″} (x_{0}) < 0$	极大值
$f^{″} (x_{0}) = 0$	失效，用第一充分条件

凹凸性与拐点

条件	结论
$f^{″} (x) > 0$	凹（向上弯）
$f^{″} (x) < 0$	凸（向下弯）
$f^{″} (x) = 0$ 且两侧变号	拐点

三、核心难点：极值的完整求解流程

套路：求极值五步法

求 $f^{'} (x)$ ，解 $f^{'} (x) = 0$ 得驻点
找 $f^{'} (x)$ 不存在的点
用第一或第二充分条件判断每个点
计算极值
列表整理

示例：求 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 的极值。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0$ ，驻点 $x = \pm 1$ 。 $f^{″} (x) = 6 x$ ： $f^{″} (1) = 6 > 0$ → 极小值 $f (1) = - 2$ ； $f^{″} (- 1) = - 6 < 0$ → 极大值 $f (- 1) = 2$ 。

四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：驻点 = 极值点？

错！ $y = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处 $f^{'} (0) = 0$ 但不是极值（ $f^{'}$ 不变号）。驻点只是极值的必要条件。

坑 2： $f^{″} (x_{0}) = 0$ 还用第二判别法

$f^{″} (x_{0}) = 0$ 时第二判别法失效，必须用第一充分条件（看左右符号）。

坑 3：把凹和凸记反

$f^{″} > 0$ 是凹（碗）， $f^{″} < 0$ 是凸（帽）。**"正碗负帽"**口诀。

五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（第二充分条件求极值）

求 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 的极值。

题型定位：极值 → 第二充分条件 识别特征：二阶可导 手把手步骤：

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0$ ，驻点 $x = \pm 1$
$f^{″} (x) = 6 x$
$f^{″} (1) = 6 > 0$ → 极小值 $f (1) = - 2$ ； $f^{″} (- 1) = - 6 < 0$ → 极大值 $f (- 1) = 2$ 结论： $极大值 2 ，极小值 - 2$

例 2（第一充分条件）

求 $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 的极值。

题型定位：极值 → 第一充分条件 识别特征： $f^{″}$ 可能为零 手把手步骤：

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3) = 0$ ，驻点 $x = 0, 3$
$x = 0$ 两侧 $f^{'}$ 都为负（ $x^{2} \geq 0$ ），不变号 → 非极值
$x = 3$ 左负右正 → 极小值 $f (3) = - 27$ 结论： $极小值 - 27 ， x = 0 非极值$ 避坑反思： $x = 0$ 是驻点但不是极值点——正是"驻点≠极值点"的经典例子。

例 3（求凹凸区间和拐点）

求 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 的凹凸区间和拐点。

题型定位：凹凸性 → 求区间拐点 识别特征：求凹/凸区间 手把手步骤：

$f^{″} (x) = 6 x$
$x < 0$ ： $f^{″} < 0$ 凸； $x > 0$ ： $f^{″} > 0$ 凹
$x = 0$ 处 $f^{″} = 0$ 且两侧变号 → 拐点结论：凸区间 $(- \infty, 0)$ ，凹区间 $(0, \infty)$ ，拐点 $(0, 0)$

例 4（极值求参数）

设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 $- 2$ ，求 $a, b$ 。

题型定位：极值 → 含参 识别特征：已知极值点求参数 手把手步骤：

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ ， $f^{'} (1) = 0$ ： $3 + 2 a + b = 0$
$f (1) = - 2$ ： $1 + a + b = - 2$
联立： ${\begin{cases} 2 a + b = - 3 \\ a + b = - 3 \end{cases}$ ，解得 $a = 0$ ， $b = - 3$
验证： $f^{″} (1) = 6 + 2 a = 6 > 0$ ✅ 极小值结论： $a = 0, b = - 3$

例 5（最值问题）

求 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值和最小值。

题型定位：最值 → 闭区间 识别特征：闭区间最值 手把手步骤：

驻点： $x = 1$ （在 $[0, 2]$ 内）， $f (1) = - 2$
端点： $f (0) = 0$ ， $f (2) = 2$
比较：最大 $2$ ，最小 $- 2$ 结论： $max = 2, min = - 2$

六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $f^{″} (x_{0}) > 0$ 且 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则 $x_{0}$ 是（） A. 极大值点 B. 极小值点 C. 拐点 D. 无法判断

2. $y = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处（） A. 极大值 B. 极小值 C. 驻点但非极值 D. 拐点

填空题

3. $f^{″} (x) > 0$ 表示曲线 ______（凹/凸）。

4. 拐点处 $f^{″} (x)$ 一般等于 ______。

解答题

5. 求 $f (x) = x^{2} \ln x$ 的极值。

答案与详细解析

1. 答案：B（ $f^{″} > 0$ 是极小值） 2. 答案：C（ $f^{'} (0) = 0$ 但 $f^{'}$ 不变号） 3. 答案：凹4. 答案： $0$ （或不存在） 5. 答案： 定义域 $x > 0$ 。 $f^{'} (x) = 2 x \ln x + x = x (2 \ln x + 1) = 0$ ，驻点 $x = e^{- 1 / 2}$ 。 $f^{″} (x) = 2 \ln x + 3$ ， $f^{″} (e^{- 1 / 2}) = 2$ > 0，极小值 $f (e^{- 1 / 2}) = - \frac{1}{2 e}$ 。

2.11 函数的极值与曲线凹凸性

2.11 函数的极值与曲线凹凸性（专升本全勤版） ​

一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观） ​

本质：找山顶和谷底 ​

为什么 f″(x) 能判断凹凸？ ​

二、考点全爆破 ​

极值判别法 ​

凹凸性与拐点 ​

三、核心难点：极值的完整求解流程 ​

套路：求极值五步法 ​

四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑） ​

坑 1：驻点 = 极值点？ ​

坑 2：f″(x0)=0 还用第二判别法 ​

坑 3：把凹和凸记反 ​

五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题） ​

例 1（第二充分条件求极值） ​

例 2（第一充分条件） ​

例 3（求凹凸区间和拐点） ​

例 4（极值求参数） ​

例 5（最值问题） ​

六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析） ​

选择题 ​

填空题 ​

解答题 ​