5.2 偏导数与全微分（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：固定一个变量，对另一个求导

偏导数就是固定一个变量，对另一个变量求导。

好比看山的坡度：只看东西方向（$x$）的坡度，南北方向（$y$）先不管——这就是 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$。

几何直观

• ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$：曲面在 $x$ 方向的切线斜率
• ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$：曲面在 $y$ 方向的切线斜率

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二、考点全爆破

偏导数定义

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}$$

求偏导方法

对 $x$ 求偏导：把 $y$ 当常数，按一元求导 对 $y$ 求偏导：把 $x$ 当常数，按一元求导

全微分

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

高阶偏导

• $f_{xx}={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}$，$f_{xy}={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}$
• 混合偏导相等：$f_{xy}=f_{yx}$（连续条件下）

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三、核心难点：复合函数偏导（链式法则）

套路：每条路径的偏导乘积相加

示例：$z=e^{xy}$，求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$。

令 $u=xy$，$z=e^u$。 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=e^u\cdot {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}=e^{xy}\cdot y=y{e}^{xy}$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：求偏导把另一个变量当"真的常数"丢掉

$z=x^{2}y$ 对 $x$ 求偏导：$2xy$（$y$ 当常数保留），不是 $2x$（$y$ 不能丢）也不是 $2x{y}^{\prime }$（$y$ 不求导）。

坑 2：混合偏导搞混

$f_{xy}$ 是先对 $x$ 再对 $y$；$f_{yx}$ 是先对 $y$ 再对 $x$。连续时相等。

坑 3：全微分漏项

$dz={\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}dx+{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}dy$，两个偏导都要，缺一不可。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（基本偏导）

求 $z=x^{2}y+x{y}^2$ 的偏导数 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ 和 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$。

题型定位：偏导 → 基本 识别特征：多项式 手把手步骤：

1. 对 $x$：$y$ 当常数，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=2xy+y^2$
2. 对 $y$：$x$ 当常数，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}=x^2+2xy$结论：$\boxed{{\displaystyle 2xy+y^2,x^2+2xy}}$

例 2（复合偏导）

求 $z=e^{xy}$ 的偏导数。

题型定位：偏导 → 复合 识别特征：指数复合 手把手步骤：

1. 对 $x$：${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=e^{xy}\cdot y=y{e}^{xy}$
2. 对 $y$：${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}=e^{xy}\cdot x=x{e}^{xy}$结论：$\boxed{{\displaystyle y{e}^{xy},x{e}^{xy}}}$

例 3（求全微分）

求 $z=\ln (x^2+y^2)$ 的全微分。

题型定位：全微分 → 直接算 识别特征：求 $dz$手把手步骤：

1. ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}={\displaystyle \frac{2x}{x^2+y^2}}$
2. ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}={\displaystyle \frac{2y}{x^2+y^2}}$
3. $dz={\displaystyle \frac{2x}{x^2+y^2}}dx+{\displaystyle \frac{2y}{x^2+y^2}}dy$结论：$\boxed{{\displaystyle dz={\displaystyle \frac{2xdx+2ydy}{x^2+y^2}}}}$

例 4（高阶偏导）

求 $z=x^3{y}^2$ 的 $f_{xy}$。

题型定位：偏导 → 高阶 识别特征：混合偏导 手把手步骤：

1. 先对 $x$：$f_x=3x^2{y}^2$
2. 再对 $y$：$f_{xy}=6x^{2}y$结论：$\boxed{{\displaystyle 6x^{2}y}}$

例 5（验证混合偏导相等）

验证 $z=x^{2}y$ 满足 $f_{xy}=f_{yx}$。

题型定位：偏导 → 混合相等 识别特征：验证性质 手把手步骤：

1. $f_x=2xy$，$f_{xy}=2x$
2. $f_y=x^2$，$f_{yx}=2x$
3. 相等 结论：$\boxed{{\displaystyle f_{xy}=f_{yx}=2x}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $z=x^{2}y$ 对 $x$ 求偏导（ ） A. $2xy$ B. $x^2$ C. $2x$ D. $2y$

2. 全微分 $dz=$（ ） A. ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}dx$ B. ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}dy$ C. ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}dx+{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}dy$ D. $z_x+z_y$

填空题

3. 求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$ 时，$y$ 当 ______ 处理。

4. 连续条件下 $f_{xy}=$ ______。

解答题

5. 求 $z=\sin (xy)$ 的全微分 $dz$。

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答案与详细解析

1. 答案：A2. 答案：C3. 答案：常数4. 答案：$f_{yx}$5. 答案：$y\cos (xy)dx+x\cos (xy)dy$（${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=y\cos (xy)$，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}=x\cos (xy)$）