1.4 等价无穷小替换原理（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：等值兑换，乘除可用

当 $x\to 0$ 时，一些函数会变得和 $x$ "长得一模一样"——比如 $\sin x$ 在 0 附近几乎就是 $x$。在乘除法中，可以直接把它们替换成最简单的 $x$，瞬间化繁为简。

好比"1 元 = 10 角"等值兑换——在乘除法里，你可以把 $\sin x$ 直接换成 $x$，就像用 1 元纸币换 10 个 1 角硬币一样，价值不变。

红线警告：加减法不能直接换！

$\tan x-\sin x$ 不能换成 $x-x=0$（这是零分操作！）。加减法里直接换，等于把正确答案直接换没了。

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二、考点全爆破

常用等价无穷小公式（$x\to 0$ 时，必背！）

公式	等价于	记忆口诀
$\sin x$	$x$	赛因是 x
$\tan x$	$x$	摊进塔是 x
$\arcsin x$	$x$	反赛因也是 x
$\arctan x$	$x$	反摊进也是 x
$\ln (1+x)$	$x$	老鹰 1+x 是 x
$e^x-1$	$x$	亿的 x 减 1 是 x
$1-\cos x$	$\frac{1}{2}{x}^2$	1 减扣赛因是半 x 方
$(1+x{)}^a-1$	$ax$	1+x 的 a 次减 1 是 a x

替换原则（错这条全错！）

场景	能不能换？	示例
纯乘除	✅ 可以	${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\to {\displaystyle \frac{x}{x}}=1$
纯加减	❌ 不能直接换	$\tan x-\sin x$ 不能换成 $x-x=0$
乘除+加减混合	⚠️ 看情况	确保替换后不互相抵消

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三、核心难点：$\tan x-\sin x$ 型加法替换技巧

套路：提取公因式，化成乘法

$\tan x-\sin x$ 不能直接加减换，但可以提取 $\tan x$：

$$\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)\sim x\cdot \frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{2}{x}^3$$

示例：$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^3}}$

直接换 $x-x=0$ → 错！❌ 提取：$\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)\sim x\cdot \frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{2}{x}^3$ 原式 $\to {\displaystyle \frac{\frac{1}{2}{x}^3}{x^3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ✅

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：加减法直接等价替换（零分！）

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^3}}$ 若直接换成 ${\displaystyle \frac{x-x}{x^3}}=0$，全错。必须提取公因式化成乘法再换。

坑 2：$x\to 0$ 时才成立

等价无穷小只在 $x\to 0$ 时成立。$x\to \mathrm{\infty }$ 时用抓大头，不是等价无穷小。

坑 3：换一部分不换另一部分

分子分母各部分都要换，不能只换分子不换分母。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（基础乘法替换）

求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin 5x}{x}}$。

题型定位：极限计算 → 等价无穷小 识别特征：$\sin$ 在乘除法中 手把手步骤：

1. $x\to 0$ 时 $\sin 5x\sim 5x$
2. 原式 $\to {\displaystyle \frac{5x}{x}}=5$结论：$\boxed{{\displaystyle 5}}$避坑反思：$\sin 5x$ 要换成 $5x$，不是 $x$。

例 2（$1-\cos$ 型）

求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{x\sin x}}$。

题型定位：极限计算 → 等价无穷小 识别特征：含 $1-\cos$ 和 $\sin$手把手步骤：

1. 分子 $1-\cos 2x\sim \frac{1}{2}(2x{)}^2=2x^2$
2. 分母 $x\sin x\sim x\cdot x=x^2$
3. 原式 $\to {\displaystyle \frac{2x^2}{x^2}}=2$结论：$\boxed{{\displaystyle 2}}$避坑反思：$\cos 2x$ 的系数 2 别忘了平方。

例 3（$\ln$ 和 $e$ 型）

求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{e^{3x}-1}}$。

题型定位：极限计算 → 等价无穷小 识别特征：含 $\ln (1+x)$ 和 $e^x-1$手把手步骤：

1. $\ln (1+2x)\sim 2x$
2. $e^{3x}-1\sim 3x$
3. 原式 $\to {\displaystyle \frac{2x}{3x}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

例 4（提取公因式型）

求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^3}}$。

题型定位：极限计算 → 提取公因式 识别特征：加减法结构，不能直接换 手把手步骤：

1. 提取 $\tan x$：$\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)$
2. $\tan x\sim x$，$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$
3. 原式 $\to {\displaystyle \frac{x\cdot \frac{1}{2}{x}^2}{x^3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}}}$避坑反思：加减法不能直接换，但提取公因式后变成乘法，就可以换了。

例 5（$(1+x{)}^a-1$ 型）

求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}}$。

题型定位：极限计算 → 等价无穷小 识别特征：根式减 1，$(1+x{)}^a-1$ 型 手把手步骤：

1. $\sqrt{1+x}-1=(1+x{)}^{1/2}-1\sim \frac{1}{2}x$
2. 原式 $\to {\displaystyle \frac{\frac{1}{2}x}{x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\arcsin x}{\tan x}}=$（ ） A. 0 B. 1 C. $\mathrm{\infty }$ D. 不存在

2. 下列哪个不能在加减法中直接等价替换？（ ） A. $\sin x$ B. $\tan x$ C. $1-\cos x$ D. 以上都不能

填空题

3. $1-\cos x\sim$ ______。

4. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2}}=$ ______。

解答题

5. 求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\ln (1+x^2)}{1-\cos x}}$。

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答案与详细解析

1. 答案：B（$\arcsin x\sim x$，$\tan x\sim x$，$x/x=1$） 2. 答案：D（加减法原则上都不能直接换，必须化成乘除结构） 3. 答案：$\frac{1}{2}{x}^2$4. 答案：$\frac{1}{2}$（$\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}=\frac{1}{2}$） 5. 答案：$2$（$\ln (1+x^2)\sim x^2$，$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$，原式 $\to {\displaystyle \frac{x^2}{\frac{1}{2}{x}^2}}=2$）