高等数学 · 2021 年真题（回忆版 + 参考答案）

类型：公开回忆整理（B 级）| 满分 100 · 120 分钟 主攻：等价无穷小 · 可去间断 · 级数 · 最优化 边界：回忆版 / 公开整理，非考试院原卷 PDF 镜像；个别措辞以正版真题册为准。见 00-资料来源与使用说明

试卷结构

题型	题量	分值
一、单项选择题	5	15
二、填空题	5	15
三、计算题	8	48
四、综合题	2	22
合计	20	100

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一、单项选择题

1. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan 6x}{2x}}=$

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案C（$\tan 6x\sim 6x$）

2. $x=3$ 是 $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x-3}}$ 的

A. 连续点 B. 可去间断点 C. 无穷间断点 D. 跳跃间断点

答案B

3. $F$ 是 $f$ 的原函数，正确的是

A. $\int F=f$ B. $F^{\prime }=f+C$ C. $f^{\prime }=F+C$ D. $\int f=F+C$

答案D

4. $\sum u_n$ 收敛，下列也收敛

A. $\sum (u_n+1/n)$ B. $\sum (u_n+1/2)$ C. $\sum (u_n+1/3^n)$ D. $\sum (u_n-1/\sqrt{n})$

答案C

5. $f(x)={\int }_0^{x^2}\sin t^{2}dt$，$g=3x^6+4x^5$，$x\to 0$

A. $f$ 比 $g$ 低阶 B. $f$ 比 $g$ 高阶 C. 等价 D. 同阶非等价

答案B（$f\sim x^6/3$，$g\sim 4x^5$）

二、填空

6. $\{\begin{array}{l}x=2t^3+3\\ y=t^2-4\end{array}$ 在 $t=1$ 斜率 = $1/3$
7. $z=x^{2}y$ 全微分 = $2xydx+x^{2}dy$
8. $y^{\prime }=y+2$，$y(0)=-1$ → $y=e^x-2$
9. $D:0\le x\le 1,0\le y\le 3-x$，${\iint }_{D}d\sigma =$ $5/2$
10. ${\int }_0^{2x+1}f=-2x^3+1$，$f(3)=$ $-3$

三、计算

11. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x(\sqrt{x^2+3}-x)$ → $3/2$
12. $y=2^x+x^x$ → $y^{\prime }=2^x\ln 2+x^x(1+\ln x)$
13. $\int (x+5)\cos 3xdx$ → $\frac{1}{3}(x+5)\sin 3x+\frac{1}{9}\cos 3x+C$
14. ${\int }_{-2}^2{\displaystyle \frac{x^{2021}+|x|}{x^2+1}}dx$ → $\ln 5$
15. $e^{zy}-xz=1$，$z_x+z_y$ → ${\displaystyle \frac{z(1-e^{zy})}{y{e}^{zy}-x}}$
16. 第一象限 $x^2+y^2\le 4$，$\iint e^{x^2+y^2}$ → ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}(e^4-1)$
17. $\sum (\frac{n}{2n+1}{)}^n$ → 收敛
18. $f=\{\begin{array}{l}{x}^2,x\le 2\\ 6-x,x>2\end{array}$，$F={\int }_0^{x}f$ 在 $x=2$ 连续$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}{x}^3,& x\le 2\\ -\frac{1}{2}{x}^2+6x-\frac{22}{3},& x>2\end{array}$

四、综合

19. 容积 $64\pi$ 无盖圆柱，材料最省时底半径 4 m
20. 过原点作 $y=\ln x$ 切线：(1) $y=\frac{1}{e}x$ (2) 面积 $-\frac{1}{2e}+\frac{e}{2}-1$

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