6.3 三重积分（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：求空间物体的质量

三重积分就是求空间物体的质量——体积微元 $dV$ 乘密度 $f(x,y,z)$ 再积分。

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dV$$

好比：把一个大面包切成无数小丁，每块小丁质量 = 密度 × 体积，全部加起来就是总质量。

三种坐标系

坐标系	适用场景	体积微元
直角坐标	长方体、一般区域	$dV=dxdydz$
柱坐标	圆柱、旋转体	$dV=rdrd\theta dz$
球坐标	球、半球	$dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$

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二、考点全爆破

直角坐标

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}fdV=\int dx\int dy\int fdz$$

柱坐标

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$$$$dV=rdrd\theta dz$$

球坐标

$$x=\rho \sin \phi \cos \theta ,y=\rho \sin \phi \sin \theta ,z=\rho \cos \phi$$$$dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$$

记忆：柱坐标多乘 $r$，球坐标多乘 ${\rho }^2\sin \phi$。

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三、核心难点：坐标系的选取

套路：看区域形状选坐标

区域形状	用哪种
长方体/立方体	直角坐标
圆柱、圆锥	柱坐标
球、半球	球坐标

示例：${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}dV$（$\mathrm{\Omega }$ 为单位球）。

球坐标：$0\le \theta \le 2\pi$，$0\le \phi \le \pi$，$0\le \rho \le 1$。 $V={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }d\phi {\int }_0^1{\rho }^2\sin \phi d\rho ={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：柱坐标和球坐标微元搞混

柱坐标 $dV=rdrd\theta dz$；球坐标 $dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$。别混。

坑 2：球坐标 $\phi$ 范围

$\phi$ 是 $z$ 轴夹角，范围 $[0,\pi ]$（不是 $[0,2\pi ]$）；$\theta$ 才是 $[0,2\pi ]$。

坑 3：被积函数忘换坐标

换坐标系时，被积函数里的 $x,y,z$ 也要换成 $r,\theta ,z$ 或 $\rho ,\phi ,\theta$。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（直角坐标长方体）

求 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}dV$，$\mathrm{\Omega }=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$。

题型定位：三重积分 → 直角坐标 识别特征：单位立方体 手把手步骤：

1. ${\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^{1}dxdydz=1$结论：$\boxed{{\displaystyle 1}}$

例 2（球坐标球体积）

求 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}dV$，$\mathrm{\Omega }$ 为单位球。

题型定位：三重积分 → 球坐标 识别特征：球体 手把手步骤：

1. ${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }d\phi {\int }_0^1{\rho }^2\sin \phi d\rho$
2. $=2\pi \times 2\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}}}$

例 3（柱坐标圆柱）

求 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}dV$，$\mathrm{\Omega }$ 是 $x^2+y^2\le 1$，$0\le z\le 1$ 的圆柱。

题型定位：三重积分 → 柱坐标 识别特征：圆柱 手把手步骤：

1. 柱坐标：$0\le r\le 1$，$0\le \theta \le 2\pi$，$0\le z\le 1$
2. ${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}rdr{\int }_0^{1}dz=2\pi \times {\displaystyle \frac{1}{2}}\times 1=\pi$结论：$\boxed{{\displaystyle \pi }}$

例 4（球坐标半球的被积函数）

求 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}zdV$，$\mathrm{\Omega }$ 是上半单位球。

题型定位：三重积分 → 球坐标带函数 识别特征：上半球 手把手步骤：

1. 球坐标：$z=\rho \cos \phi$，$dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$
2. ${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /2}\cos \phi \sin \phi d\phi {\int }_0^1{\rho }^{3}d\rho$
3. $=2\pi \times {\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}$

例 5（柱坐标圆锥）

求 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}dV$，$\mathrm{\Omega }$ 由 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=1$ 围成。

题型定位：三重积分 → 柱坐标 识别特征：圆锥 手把手步骤：

1. 柱坐标：$0\le \theta \le 2\pi$，$0\le r\le 1$，$r\le z\le 1$
2. ${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}rdr{\int }_r^{1}dz$
3. $=2\pi {\int }_0^{1}r(1-r)dr=2\pi ({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 柱坐标 $dV=$（ ） A. $dxdydz$ B. $rdrd\theta dz$ C. ${\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$ D. $drd\theta dz$

2. 球坐标 $\phi$ 的范围是（ ） A. $[0,2\pi ]$ B. $[0,\pi ]$ C. $[0,\pi /2]$ D. $[0,\pi /4]$

填空题

3. 球坐标 $dV=$ ______。

4. 单位球体积 $V=$ ______。

解答题

5. 求 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}dV$，$\mathrm{\Omega }$ 是半径为 $2$ 的球。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：${\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$4. 答案：${\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$5. 答案：${\displaystyle \frac{32\pi }{3}}$（半径 $2$ 的球，$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi \times 2^3={\displaystyle \frac{32\pi }{3}}$）