本文整理 2026 年广东省普通专升本（专插本）《高等数学》真题回忆版，并给出参考答案、关键步骤与考点分析。试卷共 20 题，考试时间 120 分钟，满分 100 分。

本文依据考后回忆资料整理，并非教育考试院发布的官方试卷。题目表述、符号或数据可能与正式试卷存在细微差异，请以官方信息为准。参考资料：石桥先生《2026年广东普通专升本高数真题/答案》。

一、试卷结构

题型	题量	每题分值	合计
单项选择题	5	3 分	15 分
填空题	5	3 分	15 分
计算题	8	6 分	48 分
综合题	2	10/12 分	22 分
总计	20		100 分

整张试卷覆盖极限、导数、积分、级数、多元函数、微分方程等主干内容。前 10 题偏基础，计算题强调常规方法的熟练度，两道综合题则考查分段积分、最值与含参积分函数。

二、选择题

第 1 题：数列极限

求

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2+\frac{1}{n}).$$

因为 $\frac{1}{n}\to 0$，所以

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(2+\frac{1}{n})=2.$$

答案：B。

第 2 题：微分

已知 $y=x^3+1$，求 ${\mathrm{d}y|}_{x=1}$。

$$\mathrm{d}y=y^{\prime }\mathrm{d}x=3x^2\mathrm{d}x.$$

代入 $x=1$，得 $\mathrm{d}y=3\mathrm{d}x$。

答案：C。

第 3 题：定积分

计算

$${\int }_0^1(3x^2+2x)\mathrm{d}x.$$$${\int }_0^1(3x^2+2x)\mathrm{d}x={[x^3+x^2]}_0^1=2.$$

答案：D。

第 4 题：单侧导数

已知 $f(x)=|5x|=5|x|$，判断 $x=0$ 处左、右导数是否存在。

$$f_{-}^{\prime }(0)=-5,f_{+}^{\prime }(0)=5.$$

左右导数都存在，但不相等，因此函数在 $x=0$ 处不可导。

答案：A（左右导数都存在）。

第 5 题：极坐标下的二重积分

设 $D$ 为圆心在原点、半径为 2 的圆域，计算

$${\iint }_D{e}^{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

使用极坐标 $x^2+y^2=r^2$、$\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$：

$$\begin{array}{rl}{\iint }_D{e}^{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2{e}^{r^2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\ & =2\pi \cdot \frac{1}{2}(e^4-1)\\ & =\pi (e^4-1).\end{array}$$

答案：A。

三、填空题

第 6 题：重要极限

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 4x}{x}=4\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 4x}{4x}=4.$$

答案：$4$。

第 7 题：复合函数求导

已知 $f(x)=\sqrt{1+2x}$，则

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1+2x}},f^{\prime }(0)=1.$$

答案：$1$。

第 8 题：等比级数

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=2.$$

答案：$2$。

第 9 题：第一类曲线积分

设 $L$ 是从 $(a,0)$ 到 $(-a,0)$ 的一条直线段，求

$${\int }_L{y}^2\mathrm{d}x.$$

线段位于 $x$ 轴上，沿途恒有 $y=0$，所以积分为 $0$。

答案：$0$。

第 10 题：反常积分与参数

已知

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}\mathrm{d}x=0,$$

求 $a$。分部积分可得

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}\mathrm{d}x=(a+1)e^{-a}.$$

由于 $e^{-a}>0$，故 $a+1=0$。

答案：$a=-1$。

四、计算题

第 11 题：极限

求

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln x}{x^2-x}.$$

因为 $x^2-x=x(x-1)$，所以

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln x}{x^2-x}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln x}{x-1}\cdot \frac{1}{x}=1.$$

第 12 题：高阶导数

设 $f(x)=(x-3{)}^5$，求 $f^{‴}(4)$。

$$f^{\prime }(x)=5(x-3{)}^4,$$$$f^{″}(x)=20(x-3{)}^3,$$$$f^{‴}(x)=60(x-3{)}^2.$$

因此 $f^{‴}(4)=60$。

第 13 题：参数方程求导

已知

$$\{\begin{array}{l}x=e^t+t,\\ y=t\cos t,\end{array}$$

求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{\cos t-t\sin t}{e^t+1}.$$

第 14 题：二重积分

计算

$${\iint }_D(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

其中 $D$ 是由 $y=2$、$y=x$ 与 $y$ 轴围成的区域。

区域可写成

$$0\le x\le 2,x\le y\le 2.$$

因此

$$\begin{array}{rl}{\iint }_D(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_0^2{\int }_x^2(x+y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^2(2x+2-\frac{3}{2}{x}^2)\mathrm{d}x\\ & =4.\end{array}$$

第 15 题：级数敛散性

判断级数

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n}{n^2}$$

的敛散性。令 $u_n=\frac{2^n}{n^2}$，则

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n^2}{(n+1{)}^2}=2>1.$$

由比值判别法，级数 发散。也可以注意到其通项不趋于 $0$，直接由级数收敛的必要条件判断发散。

第 16 题：隐函数求导与切线

求曲线

$$xy+y^3+x^5-1=0$$

在点 $(0,1)$ 处的切线方程。

设 $F(x,y)=xy+y^3+x^5-1$，则

$$F_x=y+5x^4,F_y=x+3y^2.$$

因此

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x}{F_y}.$$

在 $(0,1)$ 处，斜率 $k=-\frac{1}{3}$，故切线为

$$y-1=-\frac{1}{3}x,$$

即

$$y=-\frac{1}{3}x+1.$$

第 17 题：可分离变量微分方程

求初值问题

$$y^{\prime }=2x{e}^{x^2-y},y(0)=1$$

的特解。

分离变量：

$$e^y\mathrm{d}y=2x{e}^{x^2}\mathrm{d}x.$$

两边积分得

$$e^y=e^{x^2}+C.$$

代入 $y(0)=1$，得到 $C=e-1$，所以

$$\boxed{{\displaystyle y=\ln (e^{x^2}+e-1)}}.$$

第 18 题：二阶偏导数

已知

$$z=\sqrt{x^2+y^2},$$

证明

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{1}{z}.$$

先求一阶偏导：

$$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

再求二阶偏导：

$$z_{xx}=\frac{y^2}{(x^2+y^2{)}^{3/2}},z_{yy}=\frac{x^2}{(x^2+y^2{)}^{3/2}}.$$

相加得

$$z_{xx}+z_{yy}=\frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2{)}^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{z}.$$

五、综合题

第 19 题：含参数区域面积与最值

平面区域 $D$ 由 $y=0$、$y=1$、$x=y^2$ 与 $x=a$ 围成，其中 $0<a<1$。

（1）求面积 $S(a)$

按 $x=a$ 分段：

$$\begin{array}{rl}S(a)& ={\int }_0^a\sqrt{x}\mathrm{d}x+{\int }_a^1(1-\sqrt{x})\mathrm{d}x\\ & =\frac{4}{3}{a}^{3/2}-a+\frac{1}{3}.\end{array}$$

（2）求面积最小值

$$S^{\prime }(a)=2\sqrt{a}-1.$$

令 $S^{\prime }(a)=0$，得 $a=\frac{1}{4}$。并且当 $a<\frac{1}{4}$ 时 $S^{\prime }(a)<0$，当 $a>\frac{1}{4}$ 时 $S^{\prime }(a)>0$，所以 $a=\frac{1}{4}$ 为极小值点。

$$S_{min}=S\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}.$$

第 20 题：含参积分函数与极限

设 $f(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 上连续，且

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=2,$$

定义

$$y(x)=e^{-3x}{\int }_0^x{e}^{3t}f(t)\mathrm{d}t.$$

（1）证明 $y^{\prime }+3y=f(x)$

由乘积求导与变上限积分求导公式：

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =-3e^{-3x}{\int }_0^x{e}^{3t}f(t)\mathrm{d}t+e^{-3x}{e}^{3x}f(x)\\ & =-3y+f(x).\end{array}$$

因此

$$\boxed{{\displaystyle y^{\prime }+3y=f(x)}}.$$

（2）求 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)$

把函数写成商：

$$y(x)=\frac{{\int }_0^x{e}^{3t}f(t)\mathrm{d}t}{e^{3x}}.$$

使用洛必达法则：

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y(x)& =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{3x}f(x)}{3e^{3x}}\\ & =\frac{1}{3}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)\\ & =\frac{2}{3}.\end{array}$$

六、答案速查

题号	参考答案
1	B，$2$
2	C，$3\mathrm{d}x$
3	D，$2$
4	A，左右导数都存在但不相等
5	A，$\pi (e^4-1)$
6	$4$
7	$1$
8	$2$
9	$0$
10	$-1$
11	$1$
12	$60$
13	$\frac{\cos t-t\sin t}{e^t+1}$
14	$4$
15	发散
16	$y=-\frac{1}{3}x+1$
17	$y=\ln (e^{x^2}+e-1)$
18	$z_{xx}+z_{yy}=1/z$
19	$S(a)=\frac{4}{3}{a}^{3/2}-a+\frac{1}{3}$；$a=\frac{1}{4}$ 时最小值为 $\frac{1}{4}$
20	$y^{\prime }+3y=f(x)$；极限为 $\frac{2}{3}$

七、考点分布与备考建议

这套回忆卷的特点是 基础题覆盖面广、计算题方法常规、综合题重视建模与步骤。

1. 极限与导数必须稳拿分。 重要极限、等价无穷小、复合函数求导、高阶导数和单侧导数都有直接考查。
2. 积分仍是全卷核心。 定积分、反常积分、二重积分、曲线积分和变上限积分贯穿多个题型。
3. 多元函数不能只背公式。 隐函数求导、二阶偏导和二重积分都要求先识别几何或函数结构。
4. 级数先检查通项。 第 15 题用比值判别法很快，但先看 $u_n\nrightarrow 0$ 还能更快得出发散。
5. 综合题要写清分段依据。 第 19 题的关键不是积分本身，而是根据 $x=a$ 正确拆分区域。
6. 熟悉变上限积分求导。 第 20 题把积分函数、微分方程和极限组合起来，是很典型的综合方式。

建议备考时把常用结论整理成一页公式清单，同时坚持限时完成整套模拟卷。前 30 分的选择、填空应尽量控制在 25～30 分钟内，为计算题和综合题留出完整书写时间。

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如果你发现回忆版题目或答案与实际考试存在出入，欢迎在评论区指出，我会继续核对并更新。