高等数学 · 2019 年真题（回忆版 + 参考答案）

类型：公开回忆整理（B 级）| 满分 100 · 120 分钟 主攻：间断点 · 级数 · 二重积分 · 积分方程 边界：回忆版 / 公开整理，非考试院原卷 PDF 镜像；个别措辞以正版真题册为准。见 00-资料来源与使用说明

试卷结构

题型	题量	分值
一、单项选择题	5	15
二、填空题	5	15
三、计算题	8	48
四、综合题	2	22
合计	20	100

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一、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）

1. 函数 $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-x}{x^2+x-2}}$ 的间断点是

A. $x=-2$ 和 $x=0$ B. $x=-2$ 和 $x=1$ C. $x=-1$ 和 $x=2$ D. $x=0$ 和 $x=1$

答案与解析B。分母 $(x+2)(x-1)$，分子 $x(x-1)$。$x=1$ 可去间断，$x=-2$ 无穷间断。

2. 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<0\\ 2,& x=0\\ \cos x,& x>0\end{array}$，则 $\underset{x\to 0}{lim}f(x)$

A. 等于 1 B. 等于 2 C. 等于 1 或 2 D. 不存在

答案与解析A。左右极限均为 1。

3. 已知 $\int f=\tan x+C$，$\int g=2^x+C$，正确的是

A. $\int fg=2^x\tan x+C$ B. $\int f/g=2^x\tan x+C$ C. $\int f[g]=\tan (2^x)+C$ D. $\int (f+g)=\tan x+2^x+C$

答案与解析D。积分线性性。

4. 下列级数收敛的是

A. $\sum e^{1/n}$ B. $\sum (3/2{)}^n$ C. $\sum (\frac{2}{3^n}-\frac{1}{n^3})$ D. $\sum [(\frac{2}{3}{)}^n+\frac{1}{n}]$

答案与解析C。

5. $f(x)=ax+{\displaystyle \frac{b}{x}}$ 在 $x=-1$ 取得极大值，则

A. $a-b=0,b<0$ B. $a-b=0,b>0$ C. $a+b=0,b<0$ D. $a+b=0,b>0$

答案与解析B。$f^{\prime }=a-b/x^2$，驻点 $a=b$；$f^{″}(-1)=-2b<0\Rightarrow b>0$。

二、填空题（每题 3 分，共 15 分）

6. 曲线 $\{\begin{array}{l}x=t^3+3t\\ y=\arcsin t\end{array}$ 在 $t=0$ 切线 $y=$ ______

答案${\displaystyle \frac{1}{3}}x$

7. $ydx+xdy=0$，$y{|}_{x=1}=2$ 的特解 $y=$ ______

答案${\displaystyle \frac{2}{x}}$

8. 若 $dz=e^x\sin ydx+e^x\cos ydy$，则 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}=$ ______

答案$e^x\cos y$

9. $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x,0\le x\le 1\}$，${\iint }_{D}xdxdy=$ ______

答案${\displaystyle \frac{1}{3}}$

10. ${\int }_1^{t}f(x)dx=t\sin {\displaystyle \frac{\pi }{t}}(t>1)$，则 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f=$ ______

答案$\pi$

三、计算题（每题 6 分，共 48 分）

11. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{e^x-\sin x-1}{x^2}}$ → $1/2$
12. $y={\displaystyle \frac{x^x}{2x+1}}$，$y^{\prime }$ → ${\displaystyle \frac{x^x(1+\ln x)(2x+1)-2x^x}{(2x+1{)}^2}}$
13. $\int {\displaystyle \frac{2+x}{1+x^2}}dx$ → $2\arctan x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$
14. ${\int }_{-1/2}^{0}x\sqrt{2x+1}dx$ → $-1/15$
15. $x-z=e^{xyz}$，$z_x,z_y$ → $z_x={\displaystyle \frac{1-yz{e}^{xyz}}{1+xy{e}^{xyz}}}$，$z_y={\displaystyle \frac{-xz{e}^{xyz}}{1+xy{e}^{xyz}}}$
16. ${\iint }_D\ln (x^2+y^2)d\sigma$，$1\le x^2+y^2\le 4$ → $\pi (8\ln 2-3)$
17. $0\le a_n<b_n$，${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}={\displaystyle \frac{(n+1{)}^4}{3n^4+2n-1}}$，判 $\sum a_n$ → 收敛
18. ${\displaystyle \frac{df}{d{e}^{-x}}}=x$，凹凸区间 → 凹 $(1,+\mathrm{\infty })$，凸 $(-\mathrm{\infty },1)$

四、综合题

19.（12 分）$\phi (x)=1+x+{\int }_0^{x}t\phi (t)dt+x{\int }_x^0\phi (t)dt$ (1) $\phi (x)=\cos x+\sin x$ (2) 旋转体 $V=\pi (\pi /2+1)$

20.（10 分）$f(x)=x\ln (1+x)-(1+x)\ln x$ (1) 证单调减 (2) ${2018}^{2019}>{2019}^{2018}$

回炉笔记

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