3.7 定积分的概念（专升本全勤版）

---

一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：求曲线下的面积

定积分就是求曲线下的面积——把区间切成无数小条，每条的宽度 $dx$，高度 $f(x)$，面积 $\approx f(x)dx$，全部加起来取极限就是定积分。

好比用无数根细面条拼出一块曲面：每根面条的宽度 $dx$ 无限细，全部拼起来就是整块面积。

关键：定积分是一个"数"

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

定积分的结果是一个数（不是函数），这是它和不定积分最本质的区别。

---

二、考点全爆破

几何意义

情况	含义
$f(x)\ge 0$	曲线下方的面积（正值）
$f(x)\le 0$	面积的相反数（负值）
既有正又有负	正负面积抵消

定积分 vs 不定积分

对比	定积分	不定积分
结果	一个数	一个函数族（含 $C$）
记号	${\int }_a^{b}f(x)dx$	$\int f(x)dx$
几何	面积	找原函数

---

三、核心难点：定积分的"抵消"理解

套路：正负面积相抵

${\int }_{-1}^{1}xdx=0$，因为 $x$ 在 $[-1,0]$ 上是负面积，在 $[0,1]$ 上是正面积，两者相抵为 0。

示例：${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin xdx=0$（奇函数在对称区间上积分为 0）。

---

四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：定积分结果写成函数

${\int }_0^1{x}^{2}dx$ 结果是数 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$，不是函数 ${\displaystyle \frac{x^3}{3}}$。

坑 2：奇函数对称区间忘用性质

$f(x)$ 为奇函数时，${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$；偶函数时 $=2{\int }_0^{a}f(x)dx$。直接用性质秒杀。

坑 3：$f(x)<0$ 时定积分是负的

${\int }_0^1(-1)dx=-1$，面积是 1 但定积分是 -1。

---

五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（几何意义）

用定积分表示 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 上的面积。

题型定位：定积分 → 几何意义 识别特征：用积分表示面积 手把手步骤：

1. $f(x)=x^2\ge 0$
2. 面积 $={\int }_0^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

例 2（奇函数性质）

求 ${\int }_{-2}^2{x}^{3}dx$。

题型定位：定积分 → 奇偶性 识别特征：对称区间+奇函数 手把手步骤：

1. $x^3$ 是奇函数：$f(-x)=-f(x)$
2. 对称区间积分为 0 结论：$\boxed{{\displaystyle 0}}$

例 3（偶函数性质）

求 ${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx$。

题型定位：定积分 → 奇偶性 识别特征：对称区间+偶函数 手把手步骤：

1. $x^2$ 是偶函数
2. ${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=2{\int }_0^1{x}^{2}dx=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{3}}}}$

例 4（半圆面积）

求 ${\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx$。

题型定位：定积分 → 几何意义 识别特征：根号圆 手把手步骤：

1. $y=\sqrt{1-x^2}$ 是上半圆，半径 1
2. ${\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx$ = 半圆面积 $={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi (1{)}^2={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}$

例 5（负面积）

求 ${\int }_0^1(-x)dx$。

题型定位：定积分 → 负函数 识别特征：$f(x)<0$手把手步骤：

1. $f(x)=-x<0$，定积分是负的
2. ${\int }_0^1(-x)dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle -{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

---

六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 的结果是（ ） A. 函数 B. 数 C. 常数 $C$ D. 导数

2. ${\int }_{-1}^1{x}^{5}dx=$（ ） A. 0 B. 1 C. ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ D. 2

填空题

3. 奇函数在对称区间 $[-a,a]$ 上积分为 ______。

4. ${\int }_0^{2}xdx=$ ______。

解答题

5. 求 ${\int }_{-1}^1(|x|+x)dx$。

---

答案与详细解析

1. 答案：B（数） 2. 答案：A（$x^5$ 奇函数） 3. 答案：$0$4. 答案：$2$（${\displaystyle \frac{x^2}{2}}{|}_0^2=2$） 5. 答案：$1$（$|x|$ 偶函数 ${\int }_{-1}^1|x|dx=2{\int }_0^{1}xdx=1$；$x$ 奇函数积分为 0；总计 $1$）