2.9 洛必达法则（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：分式求极限卡住了？各求各的导！

当极限是 ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 或 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ 时，对分子分母分别求导，再求极限，往往就做出来了。

洛必达就是"分式求极限卡住了 → 分子分母各求各的导 → 再算"。

为什么洛必达有效？

直觉上，${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ 在 0/0 处的行为，主要由两者的变化速度（导数）决定——谁变得快谁"赢"，这正是导数之比的含义。

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二、考点全爆破

使用条件（必须全部满足！）

1. 极限是 ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 或 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ 型
2. 分子分母都在 $x_0$ 附近可导
3. 求导后的极限存在（或为 $\mathrm{\infty }$）

公式

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

其他未定式转化（必背！）

未定式	转化方法
$0\cdot \mathrm{\infty }$	写成 ${\displaystyle \frac{0}{1/\mathrm{\infty }}}$ 或 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{1/0}}$
$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$	通分或倒代换
$1^{\mathrm{\infty }},0^0,{\mathrm{\infty }}^0$	取 $\ln$ 转化为 ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 或 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$

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三、核心难点：三种未定式的"转化套路"

套路 1：$0\cdot \mathrm{\infty }$ 型

示例：$\underset{x\to 0^{+}}{lim}x\ln x$

写成 ${\displaystyle \frac{\ln x}{1/x}}$（变成 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$）。 洛必达：${\displaystyle \frac{1/x}{-1/x^2}}=-x\to 0$。

套路 2：$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 型

示例：$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+x}-x)$

分子有理化：${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}}\to {\displaystyle \frac{1}{2}}$。

套路 3：$1^{\mathrm{\infty }}$ 型

示例：$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^x=e$

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：不是未定式就用洛必达

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1+\cos x}{1+\sin x}}$ 是 ${\displaystyle \frac{2}{1}}$，直接代入，不能用洛必达。

坑 2：洛必达失效还用

求导后极限不存在（非 $\mathrm{\infty }$）或循环求导，洛必达失效，换方法。

坑 3：只求导一次就停

可以多次使用洛必达，直到算出结果或失效。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（基础 ${\displaystyle \frac{0}{0}}$）

求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$。

题型定位：洛必达 → ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 基础 识别特征：${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 型 手把手步骤：

1. 检查：${\displaystyle \frac{\sin 0}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$ ✅
2. 洛必达：${\displaystyle \frac{\cos x}{1}}$
3. 代入：$\cos 0=1$结论：$\boxed{{\displaystyle 1}}$

例 2（${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ 型）

求 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$。

题型定位：洛必达 → ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$识别特征：对数比幂函数 手把手步骤：

1. 检查：${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ ✅
2. 洛必达：${\displaystyle \frac{1/x}{1}}$
3. 代入：${\displaystyle \frac{1/x}{1}}\to 0$结论：$\boxed{{\displaystyle 0}}$

例 3（$0\cdot \mathrm{\infty }$ 型）

求 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^2\ln x$。

题型定位：洛必达 → $0\cdot \mathrm{\infty }$识别特征：幂乘对数 手把手步骤：

1. 转化：写成 ${\displaystyle \frac{\ln x}{1/x^2}}$（${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$）
2. 洛必达：${\displaystyle \frac{1/x}{-2/x^3}}={\displaystyle \frac{1/x\cdot x^3}{-2}}=-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$
3. 代入：$-{\displaystyle \frac{0}{2}}=0$结论：$\boxed{{\displaystyle 0}}$

例 4（$1^{\mathrm{\infty }}$ 型）

求 $\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{1/x}$。

题型定位：洛必达 → $1^{\mathrm{\infty }}$识别特征：$1^{\mathrm{\infty }}$ 未定式 手把手步骤：

1. 取对数：$\ln L=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x}}$
2. 洛必达：${\displaystyle \frac{1/(1+x)}{1}}\to 1$
3. $\ln L=1$，$L=e$结论：$\boxed{{\displaystyle e}}$

例 5（$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 型）

求 $\underset{x\to 0}{lim}({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{\sin x}})$。

题型定位：洛必达 → $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$识别特征：分式相减 手把手步骤：

1. 通分：${\displaystyle \frac{\sin x-x}{x\sin x}}$（${\displaystyle \frac{0}{0}}$）
2. 洛必达：${\displaystyle \frac{\cos x-1}{\sin x+x\cos x}}$
3. 还是 ${\displaystyle \frac{0}{0}}$，再洛必达：${\displaystyle \frac{-\sin x}{\cos x+\cos x-x\sin x}}$
4. 代入：${\displaystyle \frac{0}{2}}=0$结论：$\boxed{{\displaystyle 0}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 洛必达适用于哪两种未定式？（ ） A. ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 和 $0\cdot \mathrm{\infty }$ B. ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 和 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ C. $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 和 $1^{\mathrm{\infty }}$ D. 所有极限

2. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2}}=$（ ） A. 0 B. ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ C. 1 D. 2

填空题

3. $0\cdot \mathrm{\infty }$ 型要改写成 ______ 型。

4. $1^{\mathrm{\infty }}$ 型要取 ______ 转化。

解答题

5. 求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}}$。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B（洛必达：${\displaystyle \frac{\sin x}{2x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$） 3. 答案：${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 或 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$4. 答案：对数（取 $\ln$）5. 答案：${\displaystyle \frac{1}{6}}$
解析：三次洛必达或泰勒：$x-\sin x\sim {\displaystyle \frac{x^3}{6}}$，除以 $x^3$ 得 ${\displaystyle \frac{1}{6}}$。