2.7 微分（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：微小的变化量

微分就是"微小的变化量"。已知 $y=f(x)$，当 $x$ 变了一点点 $\mathrm{\Delta }x$ 时，$y$ 大约变多少？答案是 $dy=f^{\prime }(x)dx$。

几何直观：切线近似

在曲线某点附近，切线几乎和曲线重合。所以用切线（$dy$）近似曲线（$\mathrm{\Delta }y$），误差是比 $\mathrm{\Delta }x$ 更高阶的无穷小。

• $\mathrm{\Delta }y$：真实的改变量（曲线）
• $dy$：近似的改变量（切线）
• 两者之差 $o(\mathrm{\Delta }x)$ 小到可以忽略

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二、考点全爆破

微分公式

$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

可微与可导的关系（核心结论！）

$$\text{可微}⟺\text{可导}$$

这是本章最重要的结论——微积分里"可微"和"可导"是一回事。

近似计算公式

$$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$$

应用场景：求 $\sqrt{4.01}$、$\ln (1.02)$、$e^{0.01}$ 这类"附近值"的近似。

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三、核心难点：用微分做近似计算

套路：三步法

1. 选好点 $x_0$：靠近目标值且好算
2. 套公式：$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$
3. 计算：代入数值

示例：求 $\sqrt{4.01}$ 的近似值。

选 $f(x)=\sqrt{x}$，$x_0=4$，$\mathrm{\Delta }x=0.01$。 $f(4)=2$，$f^{\prime }(4)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{4}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$。 $\sqrt{4.01}\approx 2+{\displaystyle \frac{1}{4}}\times 0.01=2.0025$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：$dy$ 是近似值不是精确值

$dy$ 是线性近似，$\mathrm{\Delta }y$ 才是精确值。误差项 $o(\mathrm{\Delta }x)$ 被忽略。

坑 2：$x_0$ 选得不好

近似计算要选靠近目标且好算的 $x_0$。选远了误差大，选难算了麻烦。

坑 3：可微可导关系搞混

可微 $⟺$ 可导，一元函数中两者完全等价，别分开记。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（求微分）

求 $y=e^x$ 的微分 $dy$。

题型定位：微分 → 直接套公式 识别特征：求 $dy$手把手步骤：

1. $y^{\prime }=e^x$
2. $dy=y^{\prime }dx$结论：$\boxed{{\displaystyle dy=e^{x}dx}}$

例 2（复合微分）

求 $y=\sin (2x)$ 的微分。

题型定位：微分 → 复合函数 识别特征：复合结构求 $dy$手把手步骤：

1. $y^{\prime }=2\cos (2x)$
2. $dy=y^{\prime }dx$结论：$\boxed{{\displaystyle dy=2\cos (2x)dx}}$

例 3（近似计算根号）

求 $\sqrt{9.02}$ 的近似值。

题型定位：微分 → 近似计算 识别特征：求近似值 手把手步骤：

1. 选 $f(x)=\sqrt{x}$，$x_0=9$，$\mathrm{\Delta }x=0.02$
2. $f(9)=3$，$f^{\prime }(9)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{9}}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
3. $\sqrt{9.02}\approx 3+{\displaystyle \frac{1}{6}}\times 0.02=3.0033$结论：$\boxed{{\displaystyle \approx 3.0033}}$

例 4（近似计算对数）

求 $\ln (1.03)$ 的近似值。

题型定位：微分 → 近似计算 识别特征：对数近似 手把手步骤：

1. 选 $f(x)=\ln x$，$x_0=1$，$\mathrm{\Delta }x=0.03$
2. $f(1)=0$，$f^{\prime }(1)=1$
3. $\ln (1.03)\approx 0+1\times 0.03=0.03$结论：$\boxed{{\displaystyle \approx 0.03}}$

例 5（近似计算指数）

求 $e^{0.01}$ 的近似值。

题型定位：微分 → 近似计算 识别特征：指数近似 手把手步骤：

1. 选 $f(x)=e^x$，$x_0=0$，$\mathrm{\Delta }x=0.01$
2. $f(0)=1$，$f^{\prime }(0)=1$
3. $e^{0.01}\approx 1+1\times 0.01=1.01$结论：$\boxed{{\displaystyle \approx 1.01}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 可微与可导的关系是（ ） A. 可微则可导 B. 可导则可微 C. 等价 D. 无关

2. $dy$ 与 $\mathrm{\Delta }y$ 的关系是（ ） A. 相等 B. $dy$ 是 $\mathrm{\Delta }y$ 的近似 C. $\mathrm{\Delta }y$ 是 $dy$ 的近似 D. 无关

填空题

3. $y=\ln x$，$dy=$ ______。

4. $f(x_0+\mathrm{\Delta }x)\approx$ ______。

解答题

5. 用微分求 $\sqrt{16.04}$ 的近似值。

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答案与详细解析

1. 答案：C（等价） 2. 答案：B（$dy$ 是线性近似，$\mathrm{\Delta }y$ 是精确值） 3. 答案：${\displaystyle \frac{1}{x}}dx$4. 答案：$f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$5. 答案：$\approx 4.005$（$f(x)=\sqrt{x}$，$x_0=16$，$f^{\prime }(16)={\displaystyle \frac{1}{8}}$，$4+{\displaystyle \frac{1}{8}}\times 0.04=4.005$）