1.2 函数的连续性与间断点分类（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：绳子有没有断？

连续就是一条完整的绳子，一笔画完没断。间断点就是绳子上有裂口。

裂口分两种：

• 第一类裂口：裂口平整，两边高度可以补平（可去），或者整整齐齐断开（跳跃）
• 第二类裂口：裂口是深渊，一边飞到无穷远（无穷），或者疯狂抖动（振荡）

判断口诀：先看左右极限存不存在——都存在→第一类；至少一个不存在→第二类。第一类里再分：相等→可去，不等→跳跃。

间断点分类速查表

类型	左右极限	图像	举例
可去（第一类）	相等但 $\ne f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义	曲线有个洞	$y=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$
跳跃（第一类）	存在但不相等	曲线断开上下错位	$y=\frac{
无穷（第二类）	至少一个为 $\mathrm{\infty }$	曲线飞到天上去	$y=\frac{1}{x-1}$ 在 $x=1$
振荡（第二类）	至少一个不存在（振荡）	疯狂抖动	$y=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$

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二、考点全爆破

连续的三要素（在 $x_0$ 处连续）

1. $f(x_0)$ 有定义
2. $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在（左右极限相等）
3. 极限值 = 函数值

三要素缺一不可，有一个不满足就是间断点。

间断点分类终极判定表

步骤	判断内容	结论
1	左右极限都存在吗？	都存→第一类；至少一个不存→第二类
2	（第一类）左右极限相等吗？	相等→可去；不等→跳跃
3	（第二类）为 $\mathrm{\infty }$ 吗？	是→无穷；否→振荡

保命口诀：都存一类，缺存二类；相等可去，不等跳跃；无穷炸飞，振荡抖疯。

左右连续

• 左连续：$f(x_0^{-})=f(x_0)$
• 右连续：$f(x_0^{+})=f(x_0)$
• 连续 $⟺$ 左连续 且 右连续

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三、核心难点：含参分段函数连续求参数

解题套路：

1. 令左极限 = 右极限（保证极限存在）
2. 令极限值 = 函数值（保证连续）

示例：设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{ax},& x\le 0\\ b(1-x),& x>0\end{array}$ 在 $x=0$ 处连续，求 $a,b$。

左极限：$x\to 0^{-}$，$e^{ax}\to 1$。右极限：$x\to 0^{+}$，$b(1-x)\to b$。 极限存在要求 $b=1$。$f(0)=e^0=1$，连续要求 $1=1$ 自动成立。 所以 $b=1$，$a$ 任意实数。

找间断点两步法

1. 找分母零点、对数真数零点——这些是潜在间断点
2. 对每个潜在间断点，按分类表判定类型

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 4 个坑）

坑 1：判断间断点类型时看了函数值

判断 $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}$ 在 $x=1$ 处的间断点类型。

正确的做法是只看左右极限，不看函数值。可去间断点的特征是左右极限存在且相等，函数值有无定义不影响。

坑 2：找间断点只找分段点，忘了分母零点

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}$ 没有分段，但 $x=2$ 是间断点。找间断点要同时找分母零点。

坑 3：可去和跳跃搞混

场景	可去	跳跃
左右极限	相等	不相等
图像	一个洞	台阶

坑 4：无穷和振荡搞混

场景	无穷	振荡
行为	$\to \mathrm{\infty }$	有限值之间来回跳
举例	$y=\frac{1}{x-1}$	$y=\sin \frac{1}{x}$

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（可去间断点）

判断 $f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$ 在 $x=0$ 处的间断点类型。

题型定位：间断点分类 → 可去 识别特征：分母为零，分子 $\sin x$ 也为零 手把手步骤：

1. 潜在间断点：$x=0$（分母为零）
2. 计算极限：$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$
3. 左右极限存在且相等，但 $f(0)$ 无定义 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{第一类可去间断点}}}$避坑反思：补充定义 $f(0)=1$ 就连续了——"可去"的含义。

例 2（跳跃间断点）

判断 $f(x)={\displaystyle \frac{|x|}{x}}$ 在 $x=0$ 处的间断点类型。

题型定位：间断点分类 → 跳跃 识别特征：含绝对值，分母为零 手把手步骤：

1. 左极限：$x\to 0^{-}$，$|x|=-x$，${\displaystyle \frac{-x}{x}}=-1$
2. 右极限：$x\to 0^{+}$，$|x|=x$，${\displaystyle \frac{x}{x}}=1$
3. 左右极限存在但不相等 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{第一类跳跃间断点}}}$避坑反思：左右极限 $-1$ 和 $1$，像台阶一样断开。

例 3（无穷间断点）

判断 $f(x)={\displaystyle \frac{1}{(x-1{)}^2}}$ 在 $x=1$ 处的间断点类型。

题型定位：间断点分类 → 无穷 识别特征：分母为零，分子非零常数 手把手步骤：

1. 左极限：$x\to 1^{-}$，$(x-1{)}^2\to 0^{+}$，${\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}\to +\mathrm{\infty }$
2. 右极限：$x\to 1^{+}$，$(x-1{)}^2\to 0^{+}$，${\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}\to +\mathrm{\infty }$
3. 左右极限均为 $\mathrm{\infty }$结论：$\boxed{{\displaystyle \text{第二类无穷间断点}}}$避坑反思：平方保证分母始终为正，左右都是 $+\mathrm{\infty }$。

例 4（振荡间断点）

判断 $f(x)=\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$ 在 $x=0$ 处的间断点类型。

题型定位：间断点分类 → 振荡 识别特征：$\sin \frac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ 时振荡 手把手步骤：

1. 当 $x\to 0$ 时，$\frac{1}{x}\to \mathrm{\infty }$，$\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1,1]$ 振荡
2. 左右极限都不存在 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{第二类振荡间断点}}}$避坑反思：振荡间断点不是无穷大，是"抖"得停不下来。

例 5（含参分段函数连续求参）

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}},& x<0\\ a,& x=0\\ x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}+b,& x>0\end{array}$，问 $a,b$ 取何值时 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续？

题型定位：连续性 → 含参分段函数 识别特征：分段函数在分界点求参数 手把手步骤：

1. 左极限：$x\to 0^{-}$，${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\to 1$
2. 右极限：$x\to 0^{+}$，$x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}+b\to 0+b=b$
3. 极限存在：$b=1$
4. 连续：$a=1$（极限值=函数值） 结论：$\boxed{{\displaystyle a=1,b=1}}$避坑反思：$x\sin \frac{1}{x}$ 极限为 0（有界乘无穷小）。

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}$ 在 $x=2$ 处是什么间断点？（ ） A. 可去 B. 跳跃 C. 无穷 D. 振荡

2. 下列哪个是第二类间断点？（ ） A. 左右极限相等但不等于函数值 B. 左右极限存在但不相等 C. 左右极限至少一个不存在 D. 函数在该点无定义

填空题

3. $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}$ 在 $x=1$ 处是 ______ 间断点。

4. 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且 $f(0)=2$，则 $\underset{x\to 0}{lim}f(x)=$ ______。

解答题

5. 求 $f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x(x-1)}}$ 的所有间断点并指出类型。

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答案与详细解析

1. 答案：C（无穷间断点） 2. 答案：C（A 可去，B 跳跃，C 第二类） 3. 答案：可去（$\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}=2$，左右相等，$f(1)$ 无定义） 4. 答案：$2$（连续定义） 5. 答案：$x=0$ 可去，$x=1$ 无穷
解析：$x\to 0$：${\displaystyle \frac{\sin x}{x(x-1)}}\to -1$，可去。$x\to 1$：${\displaystyle \frac{\sin 1}{0}}\to \mathrm{\infty }$，无穷。