8.3 幂级数（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：像多项式但有无穷多项

幂级数就是 $\sum a_n{x}^n$，像多项式但有无穷多项。关键是求收敛半径——在半径内收敛，在半径外发散。

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$$

收敛半径的意义

$x$ 的位置	级数行为
$	x
$	x
$	x

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二、考点全爆破

收敛半径求法

$$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\text{或}R=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}$$

收敛区间

• 求出 $R$ 后，收敛区间是 $(-R,R)$
• 端点 $\pm R$ 单独判断（可能收敛也可能发散）

幂级数的性质

性质	内容
逐项求导	收敛半径不变
逐项积分	收敛半径不变
和函数	收敛区间内可求

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三、核心难点：求收敛半径+收敛区间

套路：比值法求 $R$，端点单独判

示例：求 $\sum {\displaystyle \frac{x^n}{n}}$ 的收敛半径和收敛区间。

$R=lim{\displaystyle \frac{1/n}{1/(n+1)}}=lim{\displaystyle \frac{n+1}{n}}=1$。 端点 $x=1$：$\sum {\displaystyle \frac{1}{n}}$ 发散（调和级数）。 端点 $x=-1$：$\sum {\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}$ 收敛（交错级数）。 收敛区间 $[-1,1)$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：端点忘判断

收敛半径给出 $(-R,R)$ 是初步的，端点 $\pm R$ 必须单独判断，可能收敛也可能发散。

坑 2：$R=\mathrm{\infty }$ 的情况

如 $\sum {\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$，$R=\mathrm{\infty }$，收敛区间是全体实数 $\mathbb{R}$。

坑 3：$R=0$ 的情况

如 $\sum n!x^n$，$R=0$，只在 $x=0$ 收敛。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（求收敛半径）

求 $\sum {\displaystyle \frac{x^n}{n}}$ 的收敛半径。

题型定位：幂级数 → 收敛半径 识别特征：直接求 $R$手把手步骤：

1. $R=lim{\displaystyle \frac{1/n}{1/(n+1)}}=lim{\displaystyle \frac{n+1}{n}}=1$结论：$\boxed{{\displaystyle R=1}}$

例 2（求收敛区间）

求 $\sum {\displaystyle \frac{x^n}{n}}$ 的收敛区间。

题型定位：幂级数 → 收敛区间 识别特征：含端点判断 手把手步骤：

1. $R=1$，初步 $(-1,1)$
2. $x=1$：$\sum {\displaystyle \frac{1}{n}}$ 发散
3. $x=-1$：$\sum {\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}$ 收敛 结论：$\boxed{{\displaystyle [-1,1)}}$

例 3（$R=\mathrm{\infty }$）

求 $\sum {\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$ 的收敛区间。

题型定位：幂级数 → 全收敛 识别特征：阶乘分母 手把手步骤：

1. $R=lim{\displaystyle \frac{n!}{(n+1)!}}=lim{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$… 这是 $a_n/a_{n+1}$
2. $R=lim{\displaystyle \frac{1/n!}{1/(n+1)!}}=lim(n+1)=\mathrm{\infty }$结论：$\boxed{{\displaystyle \mathbb{R}\text{（收敛区间全体实数）}}}$

例 4（幂级数求和函数）

求 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$ 的和函数。

题型定位：幂级数 → 和函数 识别特征：几何级数 手把手步骤：

1. 公比 $x$，$|x|<1$
2. $\sum x^n={\displaystyle \frac{1}{1-x}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{1-x}},|x|<1}}$

例 5（逐项积分求和）

利用 ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}=\sum x^n$，求 $\sum {\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}$ 的和函数。

题型定位：幂级数 → 逐项积分 识别特征：积分结构 手把手步骤：

1. ${\int }_0^x{\displaystyle \frac{1}{1-t}}dt=-\ln (1-x)$
2. 逐项积分：$\sum {\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}=-\ln (1-x)$结论：$\boxed{{\displaystyle -\ln (1-x),|x|<1}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 收敛区间 $(-R,R)$ 的端点（ ） A. 一定收敛 B. 一定发散 C. 单独判断 D. 不存在

2. $\sum x^n$（$|x|<1$）的和函数是（ ） A. ${\displaystyle \frac{1}{1+x}}$ B. ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ C. $\ln (1-x)$ D. $e^x$

填空题

3. 求收敛半径用 ______ 法。

4. $R=\mathrm{\infty }$ 时收敛区间是 ______。

解答题

5. 求 $\sum {\displaystyle \frac{x^n}{2^n}}$ 的收敛区间。

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答案与详细解析

1. 答案：C2. 答案：B3. 答案：比值（或根值）4. 答案：$\mathbb{R}$（全体实数）5. 答案：$(-2,2)$（$a_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}$，$R=lim{\displaystyle \frac{2^{n+1}}{2^n}}=2$，端点 $x=\pm 2$ 时 $\sum (\pm 1{)}^n$ 发散，收敛区间 $(-2,2)$）