高等数学 · 2023 年真题（回忆版 + 参考答案）

类型：公开回忆整理（B 级）| 满分 100 · 120 分钟主攻：连续 · 切线 · 级数 · 二阶方程 · 证明边界：回忆版 / 公开整理，非考试院原卷 PDF 镜像；个别措辞以正版真题册为准。见 00-资料来源与使用说明

试卷结构

题型	题量	分值
一、单项选择题	5	15
二、填空题	5	15
三、计算题	8	48
四、综合题	2	22
合计	20	100

一、单项选择题

$lim_{x \to 0} (2^{x} + 1)$ → C. 2
$f (x) = (1 + x^{2})^{1 / x^{2}} (x \neq 0)$ 在 0 连续， $a =$ → C. $e$
$y = x e^{- x}$ 在 $(1, e^{- 1})$ 斜率 → B. 0
$2 x$ 是 $f$ 原函数， $\int_{0}^{π / 2} [f - \sin x]$ → A. $π - 1$
$\sum u_{n}$ 收敛，下列发散 → D. $\sum (u_{n} - 1)$

二、填空

$y = \sin x / x$ 水平渐近线 $y =$ 0
$\int_{k}^{+ \infty} x^{- 2} d x = 1$ ， $k =$ 1
$z = x^{x} + (x - y)^{2}$ ， $\partial^{2} z / \partial y \partial x =$ $- 2$
换序 $\int_{0}^{1} d x \int_{\sqrt{x}}^{1} f d y$ → $\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y^{2}} f d x$
$y^{″} - 8 y^{'} + 7 y = 0$ 通解 → $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{7 x}$

三、计算

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 20}{x^{2} - 4}$ → 6
$y = \sqrt{x + \cos x}$ ， $d y |_{x = 0}$ → $\frac{1}{2} d x$
$f^{'} = \ln x / x$ ，凹 $(0, e)$ ，凸 $(e, + \infty)$
$\int (2 x - 1) e^{x} d x$ → $(2 x - 3) e^{x} + C$
分段 $f$ ， $\int_{- 1}^{4} f$ → 3
$z = \ln 3 - x^{2} e^{y^{2} z}$ 求偏导（见标准答案）
$\iint_{D} (x^{2} + y^{2})^{2}$ ， $x^{2} + y^{2} \leq 1$ → $π / 3$
$(1 / 2)^{n} \leq u_{n} \leq n^{2} / 2^{n}$ ， $\sum u_{n}$ → 收敛

四、综合

证：(1) $\arctan x = π / 2 - \arctan (1 / x)$ (2) $\arctan x < \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$
$f \geq \sqrt{1 + x^{4}}$ ，夹面积 $t^{3}$ → $f = \sqrt{1 + x^{4}} + 3 x^{2}$ ； $f g^{'} + f^{'} g = 5 x \sqrt{x}$ ， $g (0) = 1$ → $g = \frac{2 x^{5 / 2} + 1}{\sqrt{1 + x^{4}} + 3 x^{2}}$

回炉

高等数学 · _索引

返回：_索引 · 总索引