1.5 极限运算法则（专升本全勤版）

一、大白话通俗讲解

各位同学，先问一个问题：极限是啥？说白了，极限就是"无限逼近但不用真的到达"的那个值。

那这节学啥呢？——怎么把复杂的极限算出来。

你想想，考试给你的极限式子，往往是一大坨：有加有减有乘有除，还带分式、带根号、带幂。如果一个个硬算，脑子都要炸。但数学家们发现了一个偷懒的好办法：

只要每一小块的极限都存在，那么"整体"的极限就等于"各部分极限先算出来，再组合起来"。

就像做饭：先把每样菜分别做好，再拼成一桌。极限运算就像"先算好再拼"——加法、减法、乘法、除法，全都支持这种"先算后拼"。

这一节就三件事：

1. 四则运算法则：加、减、乘、除怎么拆；
2. 复合函数极限：括号里套括号怎么算；
3. 两个大 BOSS：$\frac{0}{0}$ 型和 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型，怎么"变身"再算。

记住一句话贯穿全节：先别急着动手，先看能不能拆；能拆就拆，拆不了就"变身"（约分 / 抓大头）。

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二、考点全爆破

考点 1：极限的四则运算法则

设 $limf(x)=A$，$limg(x)=B$（都是有限数，这是前提！），则：

$$lim[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$$$$lim[f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$$$$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$$

特别重要的一条推论（常考！）：

$$lim[Cf(x)]=Climf(x)(\text{常数 }C\text{ 可以提出来})$$

还有一条推论（证明题里常用）：如果 $limf(x)=A$，且 $f(x)\ge 0$，则 $A\ge 0$。

用大白话说：

• 和的极限 = 极限的和；
• 差的极限 = 极限的差；
• 积的极限 = 极限的积；
• 商的极限 = 极限的商（前提：分母极限不为 0）。

注意

法则的前提是 每个部分极限都存在，而且分母极限不能为 0。缺一个条件，法则就不能直接用！

考点 2：多项式函数的极限（白给分）

结论：多项式函数在一点处的极限，直接代入即可。

若 $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$，则

$$\underset{x\to x_0}{lim}P(x)=P(x_0)$$

有理函数（分式函数）在分母不为零时也一样：

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x_0)}{Q(x_0)}(Q(x_0)\ne 0)$$

这就是"直接代入法"，是所有极限题的兜底操作。 先代入试试，能算出数就赢了。

考点 3：复合函数的极限

设 $\underset{x\to x_0}{lim}\phi (x)=a$，且 $\underset{u\to a}{lim}f(u)=A$（在 $x_0$ 附近 $\phi (x)\ne a$ 等条件满足时），则

$$\underset{x\to x_0}{lim}f[\phi (x)]=\underset{u\to a}{lim}f(u)=A$$

考试最常用的简化版（换元法）：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f[\phi (x)]=f(\underset{x\to x_0}{lim}\phi (x))$$

只要内层极限能算出数 $a$，外层函数在 $a$ 处"好算"（连续），就把 $a$ 代进去。

大白话：从里往外算，先算里面那一层，再把结果往外带。

考点 4：$\frac{0}{0}$ 型极限 —— 核心手法：约分

什么叫 $\frac{0}{0}$ 型？就是分子分母都趋于 0，比如 $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x-2}$，代入 $x=2$，分子 $0$、分母 $0$，得不出结果。

为什么会出现 0/0？ 因为分子分母在 $x_0$ 处都有"零因子"（因式 $x-x_0$），它们互相抵消了。所以：

处理思路：先把分子分母因式分解，把公共因子 $(x-x_0)$ 约掉，再代入。

常用变形手段：

1. 因式分解：$x^2-4=(x-2)(x+2)$，$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$；
2. 有理化：见到根号，乘上共轭式 $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$；
3. 通分：见到多个分式相减，先通分合并。

考点 5：$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型极限 —— 核心手法：抓大头

什么叫 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型？就是 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，分子分母都趋于无穷大，比如 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+3x+1}{x^2+5}$。

处理思路（抓大头）：分子分母同除以最高次幂，然后利用

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^k}=0(k>0)$$

记忆口诀：谁大听谁的。 分子分母都是多项式时，直接看最高次项：

设 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n{x}^n+\cdots }{b_m{x}^m+\cdots }$，则

$$\text{结果}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a_n}{b_m}},& n=m(\text{次数相同，取系数之比})\\ \mathrm{\infty },& n>m(\text{分子次数高，趋于无穷})\\ 0,& n<m(\text{分母次数高，趋于 0})\end{array}$$

所以求 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型，根本不用一步步算，直接"次数定生死，系数定大小"。

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三、例题精讲

例 1：直接代入（多项式）

求 $\underset{x\to 1}{lim}(x^3-2x+5)$。

解： 这是多项式，直接代入 $x=1$：

$$\underset{x\to 1}{lim}(x^3-2x+5)=1^3-2\times 1+5=1-2+5=4$$

答案：$4$。

点评：送分题，但一定要养成"先代入"的习惯，别一上来就瞎变形。

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例 2：$\frac{0}{0}$ 型 —— 因式分解约分（重点题！）

求 $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x-2}$。

解： 先代入试试：$x=2$ 时分子 $=4-4=0$，分母 $=0$，是 $\frac{0}{0}$ 型，不能直接算。

因式分解分子：

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

于是

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}(x+2)=4$$

答案：$4$。

点评：约分前极限不存在，约分后极限就出来了。 注意：$x\to 2$ 表示 $x$ 无限接近 2 但 $x\ne 2$，所以约掉 $x-2$ 是合法的！这就是 0/0 型处理的核心逻辑。

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例 3：$\frac{0}{0}$ 型 —— 有理化（含根号）

求 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$。

解： 代入 $x=0$：分子 $=0$，分母 $=0$，$\frac{0}{0}$ 型。

分子含根号，用共轭式有理化：

$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}$$

约去 $x$：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$

答案：${\displaystyle \frac{1}{2}}$。

点评：看到根号相减，第一反应就是"乘共轭式"。这题的结果其实是个经典结论：$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}$，后面讲等价无穷小时还会再见到它。

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例 4：$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型 —— 抓大头

求 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2+2x+1}{2x^2-x+4}$。

解法一（正规操作，同除最高次幂）：

分子分母同除以 $x^2$：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2+2x+1}{2x^2-x+4}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}{2-{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}$$

因为 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$、$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=0$，所以

$$=\frac{3+0+0}{2-0+0}=\frac{3}{2}$$

解法二（抓大头口诀，秒杀）： 分子分母都是二次，次数相同，结果 = 最高次系数之比 $={\displaystyle \frac{3}{2}}$。

答案：${\displaystyle \frac{3}{2}}$。

点评：考场时间紧，直接用口诀。但要会写法一，因为"通分题"和"证明题"需要完整步骤。

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例 5：$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型 —— 次数不同

求下列极限：

(1) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3+1}{x^2+2}$；　　 (2) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+2}{x^3+1}$。

解：

(1) 分子次数 3 > 分母次数 2，分子是"大头"，结果为 $\mathrm{\infty }$。

验证一下（同除以 $x^3$）：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3+1}{x^2+2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}}}=\frac{1+0}{0+0}=\mathrm{\infty }$$

(2) 分子次数 2 < 分母次数 3，分母是"大头"，结果为 $0$。

答案：(1) $\mathrm{\infty }$；(2) $0$。

点评：把这两个放一起对比，就是为了让你记住口诀——"次数定生死"：分子次数高 → $\mathrm{\infty }$，分母次数高 → $0$，一样高 → 系数之比。

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四、易错点警示

错误 1：分母极限为 0 还硬用除法法则

错误做法：

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{lim(x^2-4)}{lim(x-2)}=\frac{0}{0}=1✗$$

原因： 商的法则要求分母极限 $B\ne 0$，这里 $lim(x-2)=0$，条件不满足，法则失效！

正确做法： 先判断是不是 $\frac{0}{0}$ 型，是的话就约分（例 2 那样）。

错误 2：只约分子不约分母，或者约掉"不存在的公共因子"

错误做法：

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}(x+1)=2$$

这个其实是对的。但有人会写成：

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{lim(x^2-1)}{lim(x-1)}=\frac{0}{0}✗$$

记住：约分的前提是"因式分解出公共因子"，不是随便把分子分母里的项删掉。 比如 $\frac{x^2+1}{x}$ 就不能"约 $x$"，因为分子没有因式 $x$。

错误 3：$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型不看次数，直接代入

错误做法：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+1}{3x}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}=1✗$$

$\mathrm{\infty }÷\mathrm{\infty }$ 没有确定结果，必须用"抓大头"。正确结果：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+1}{3x}=\frac{2}{3}$$

错误 4：加减法拆开时，某部分极限不存在

错误做法：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(x^2-x^2)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^2-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^2=\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=0✗$$

原因： $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^2$ 不存在（是无穷大，不是有限数），加法法则前提不满足，不能拆！

正确做法： 先合并，$x^2-x^2=0$，直接得 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}0=0$。

口诀：极限存在才敢拆，无穷大不是数。

错误 5：复合函数极限"外层乱代入"

错误做法：

$$\underset{x\to 0}{lim}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{\underset{x\to 0}{lim}(1-x^2)}=\sqrt{1}=1$$

这题碰巧对。但要注意：外层代入的前提是内层极限存在且外层在该点连续（后续章节"连续性"会详细讲）。现阶段记住：从里往外算，先算内层极限，再看外层能不能代。

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五、小结

一张表记住本节核心

类型	特征	处理手法	结果规律
多项式 / 分母不为 0	代入分母不为 0	直接代入	算出的数
$\frac{0}{0}$ 型	分子分母都趋于 0	因式分解约分 / 有理化 / 通分	约完后代入
$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型	$x\to \mathrm{\infty }$ 分子分母都无穷	抓大头（同除最高次幂）	次数同取系数比，分子高为 $\mathrm{\infty }$，分母高为 $0$

三步走解题流程

1. 第一步（代入）：把 $x_0$ 代入，能算出数就直接写答案；
2. 第二步（定型）：代入不行的，判断是 $\frac{0}{0}$ 型还是 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型；
3. 第三步（变形）：$\frac{0}{0}$ 型 → 约分；$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型 → 抓大头。

四则运算法则使用前提（背下来）

• 每个部分的极限都存在（是有限数）；
• 除法中分母的极限不为 0；
• 只有 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 这两种"不定型"需要变形处理，其他情况优先直接算。

考前默念

先代入，不行就定型；0/0 约分，无穷抓大头；能拆才拆，不能拆就变形。

这节是极限计算的"基本功"，后面学等价无穷小、两个重要极限、洛必达法则时，全都要用上这套"代入 → 定型 → 变形"的流程。把这节吃透，你就算拿到了第一章最重要的得分钥匙 🔑。加油，全勤上岸！