1.6 两个重要极限（专升本全勤版）

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一、大白话通俗讲解

1.1 为什么要有"极限存在准则"？

想象一下，你站在一个黑乎乎的房间里，想知道墙在哪儿。你伸出左手摸到一面墙，伸出右手也摸到一面墙，左右手之间的距离越来越小——这时候你就能肯定：两面墙之间夹着的就是你的位置。这就是夹逼准则的生活版。

再想象一下，你往一个水池里持续加水，水位一直往上涨，但它永远不会漫过池沿——这个"池沿"就是上界。水位一直涨，说明它是单调递增的，那它最终一定会逼近某个稳定高度。这就是单调有界准则。

一句话总结：

• 夹逼准则：两头夹中间，两头极限相等，中间极限就是那个值。
• 单调有界准则：一直往上（或往下）跑，但跑不出边界，那就一定趋向于某个数。

1.2 两个重要极限长什么样？

第一个重要极限：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$

这个公式的意思是：当 $x$ 非常非常接近 0 的时候，$\sin x$ 和 $x$ 几乎是相等的。比如 $x=0.01$，$\sin 0.01\approx 0.0099998$，差不多就是 0.01。

第二个重要极限：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$$

或者写成：

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

这个公式的意思是：你存银行，年利率 100%，一年复利一次，1 块钱变 2 块；如果半年复利一次，变成 $(1+\frac{1}{2}{)}^2=2.25$；如果每天都复利……无穷多次复利，你最多能拿到 $e\approx 2.71828$ 块钱。这就是自然常数 $e$ 的由来。

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二、考点全爆破

2.1 夹逼准则（Squeeze Theorem）

标准说法： 如果函数 $f(x)$、$g(x)$、$h(x)$ 满足：

1. 在某个去心邻域内，$g(x)\le f(x)\le h(x)$
2. $limg(x)=limh(x)=A$

那么 $limf(x)=A$。

白话版： 小明被夹在小胖和小瘦中间，小胖和小瘦同样高，小明也一定那么高。

考试怎么考？

• 给一个式子，你很难直接算极限，就找两个"夹"它的式子
• 常用于带有 $\sin \frac{1}{x}$、$\cos \frac{1}{x}$ 这类振荡函数的极限

经典例题：

$$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}$$

因为 $|\sin \frac{1}{x}|\le 1$，所以 $-|x|\le x\sin \frac{1}{x}\le |x|$，而 $\underset{x\to 0}{lim}|x|=0$，所以结果为 0。

2.2 单调有界准则（Monotone Convergence Theorem）

标准说法： 单调递增且有上界的数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限。

白话版： 你一直往上爬，但天花板有高度，你最终会停在某个位置。

考试怎么考？

• 给一个递推数列 $x_{n+1}=f(x_n)$，证明极限存在并求值
• 步骤：① 证明单调性（做差或做商） ② 证明有界（数学归纳法） ③ 设极限为 $A$，两边取极限解方程

2.3 第一个重要极限：${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1}$

核心用法： 只要分子是 $\sin (\text{某坨})$，分母是 $\text{某坨}$，且 $\text{某坨}\to 0$，结果就是 1。

各种变形：

形式	结果	说明
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}}$	$1$	基本型
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{3x}}$	$1$	把 $3x$ 看成一个整体
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{x}}$	$3$	分子分母不匹配，$\frac{\sin 3x}{x}=3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}$
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 5x}{\sin 2x}}$	$\frac{5}{2}$	上下同除 $x$ 或直接 $\frac{\sin 5x}{5x}\cdot \frac{2x}{\sin 2x}\cdot \frac{5x}{2x}$
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^2}}$	$\frac{1}{2}$	用 $1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$ 转化
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}}$	$1$	$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，$\cos 0=1$
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\arcsin x}{x}}$	$1$	令 $t=\arcsin x$，$x=\sin t$

万能口诀： $\sin (\text{小东西})$ 比上 $(\text{小东西})$，小东西趋向 0，结果就是 1。

2.4 第二个重要极限：${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e}$

三种常用形式：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{k}{x})}^x=e^k$$

核心套路： $1^{\mathrm{\infty }}$ 型未定式，用这个极限处理。

判断标准：

1. 底数是 $1+\text{无穷小}$ 的形式
2. 指数是 $\text{无穷大的数}$
3. 底数中的无穷小部分，倒过来就是指数

快速公式：

$$lim(1+\alpha {)}^{\frac{1}{\alpha }}=e(\alpha \to 0)$$

更一般的公式：

$$lim{(1+\frac{a}{x})}^{bx}=e^{ab}(x\to \mathrm{\infty })$$

注意： 检查底数是否趋近于 1，指数是否趋近于 $\mathrm{\infty }$，缺一不可。

2.5 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型极限的通用处理法

遇到 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型，三步走：

第一步： 判断类型——底数 $\to 1$，指数 $\to \mathrm{\infty }$。

第二步： 凑成 $lim[1+\phi (x){]}^{\frac{1}{\phi (x)}\cdot \phi (x)\cdot \psi (x)}$ 的形式。

第三步： 结果 = $e^{lim\phi (x)\cdot \psi (x)}$。

记忆口诀：底数减 1，乘上指数，再取 e 的次方。

即：如果 $limf(x)=1$，$limg(x)=\mathrm{\infty }$，则：

$$lim[f(x){]}^{g(x)}=e^{lim[f(x)-1]\cdot g(x)}$$

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三、例题精讲

例题 1：第一个重要极限基础题

求 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{x}}$。

解：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{3\sin 3x}{3x}=3\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{3x}=3\cdot 1=3$$

技巧： 分母少了个 3，补上去，前面乘回来。

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例题 2：第一个重要极限进阶题

求 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 5x}{\sin 2x}}$。

解法一（凑重要极限）：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 5x}{\sin 2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{\sin 5x}{5x}\cdot 5x}{\frac{\sin 2x}{2x}\cdot 2x}=\frac{1\cdot 5}{1\cdot 2}=\frac{5}{2}$$

解法二（等价无穷小）：$x\to 0$ 时，$\sin 5x\sim 5x$，$\sin 2x\sim 2x$，所以原式 $=\underset{x\to 0}{lim}\frac{5x}{2x}=\frac{5}{2}$。

两种方法，一个答案。

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例题 3：夹逼准则应用

求 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})}$。

解：第一步：找夹逼的两边。

一共有 $n$ 项，每项的分母不同。

最大项：$\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$（分母最小） 最小项：$\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$（分母最大）

所以：

$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le \text{原式}\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$$

第二步：求两边的极限。

左边极限：${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1}$

右边极限：${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1}$

第三步：夹逼准则得出结论。

两边极限都是 1，所以原式极限为 1。

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例题 4：第二个重要极限（$1^{\mathrm{\infty }}$ 型）

求 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2}{x+1}\right)}^x}$。

解：第一步：判断类型。$x\to \mathrm{\infty }$ 时，$\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}\to 1$，指数 $x\to \mathrm{\infty }$，是 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型。

第二步：凑标准形式。

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x+1})}^x=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x+1})}^{x+1}\cdot {(1+\frac{1}{x+1})}^{-1}$$

第三步：求极限。

$$=e\cdot 1=e$$

快算法：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2}{x+1}\right)}^x=e^{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x+2}{x+1}-1)\cdot x}=e^{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x+1}\cdot x}=e^1=e$$

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例题 5：第二个重要极限综合题

求 ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(1+3x{)}^{\frac{2}{x}}}$。

解：第一步：判断类型。$x\to 0$ 时，$1+3x\to 1$，指数 $\frac{2}{x}\to \mathrm{\infty }$，是 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型。

第二步：凑标准形式。

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+3x{)}^{\frac{2}{x}}=\underset{x\to 0}{lim}{[(1+3x{)}^{\frac{1}{3x}}]}^{3x\cdot \frac{2}{x}}=\underset{x\to 0}{lim}{[(1+3x{)}^{\frac{1}{3x}}]}^6$$

第三步：求极限。

$$=e^6$$

快算法：

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+3x{)}^{\frac{2}{x}}=e^{\underset{x\to 0}{lim}3x\cdot \frac{2}{x}}=e^6$$

变形训练： 如果改成 $\underset{x\to 0}{lim}(1+3x{)}^{\frac{2}{\sin x}}$，结果会怎样？

解：

$$=e^{\underset{x\to 0}{lim}3x\cdot \frac{2}{\sin x}}=e^{\underset{x\to 0}{lim}\frac{6x}{\sin x}}=e^{6\cdot 1}=e^6$$

注意这里用到了第一个重要极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$，两个重要极限联动了！

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四、易错点警示

❌ 易错点 1：第一个重要极限中 $x\to 0$ 不是 $x\to \mathrm{\infty }$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin x}{x}=0\text{（不是 1！）}$$

因为 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，$\frac{1}{x}\to 0$，$\sin x$ 有界，有界函数乘无穷小等于 0。

记住：第一个重要极限必须是 $\to 0$ 的形式。

❌ 易错点 2：$\frac{\sin 5x}{x}$ 直接写成 1

正确做法：$\frac{\sin 5x}{x}=5\cdot \frac{\sin 5x}{5x}\to 5\times 1=5$，不是 1！

❌ 易错点 3：第二个重要极限底数必须是 $1+\text{无穷小}$

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x^2{)}^{\frac{1}{x}}\ne e$$

因为 $x\to 0$ 时 $x^2\to 0$，但 $\frac{1}{x}\to \mathrm{\infty }$，而 $(1+x^2{)}^{\frac{1}{x}}=e^{lim{x}^2\cdot \frac{1}{x}}=e^{limx}=e^0=1$，不是 $e$。

关键：指数和底数中的无穷小必须互为倒数，或者说底数减 1 的无穷小阶数要和指数匹配。

❌ 易错点 4：$1^{\mathrm{\infty }}$ 型直接写成 1

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x\ne 1$$

底数 $\to 1$，指数 $\to \mathrm{\infty }$，不能直接写 1，因为 $1^{\mathrm{\infty }}$ 是未定式，结果可能是 $e$ 或其他值。

❌ 易错点 5：夹逼准则使用条件忘了

夹逼准则要求两边的极限 相等，如果不相等，夹不出结果。

❌ 易错点 6：第二个重要极限的符号

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e\text{和}\underset{x\to 0^{+}}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

左右极限相等，所以极限存在，都等于 $e$。但考试中一般不区分左右，直接写 $x\to 0$。

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五、小结

重要极限对照表

极限	条件	结果	口诀
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}}$	$x\to 0$	$1$	小 $\sin$ 小 $x$ 比一比，等于 1
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin ax}{x}}$	$x\to 0$	$a$	补系数
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin ax}{\sin bx}}$	$x\to 0$	$\frac{a}{b}$	系数比
${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x}$	$x\to \mathrm{\infty }$	$e$	一加无穷小，无穷多次方
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}$	$x\to 0$	$e$	一加小量，小量倒数次方
${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{k}{x})}^x}$	$x\to \mathrm{\infty }$	$e^k$	一加 $k$ 比 $x$，结果 $e$ 的 $k$ 次方

做题步骤口诀

遇到 $\frac{\sin ◻}{◻}$，先看 $◻\to 0$ 吗？

• 是 → 直接 1
• 不是 → 检查是否能用夹逼或等价无穷小

遇到 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型，三步走：

• 一看底数是否 $\to 1$
• 二看指数是否 $\to \mathrm{\infty }$
• 三用公式 $lim(1+\alpha {)}^{\beta }=e^{lim\alpha \beta }$

遇到夹逼题：

• 找最大项和最小项
• 分别求极限
• 相等则出结果

本章重点

1. 两个重要极限的 标准形式 必须背熟
2. 各种 变形 要会灵活凑
3. $1^{\mathrm{\infty }}$ 型极限的 通用处理法（底数减 1 乘指数取 e）
4. 夹逼准则主要用于 数列求和 或 含振荡函数 的极限
5. 两个重要极限 可以联动，比如例题 5 中同时用到了两个重要极限

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下节预告： 1.7 函数的连续性——从"断"到"连"，函数光滑了会发生什么？