10.4 重积分的应用（专升本全勤版）

本节对应同济大学《高等数学》第八版 10-4 节。

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一、大白话通俗讲解

学了怎么算，现在学拿来干嘛

前几节咱们学会了怎么算二重积分、三重积分（直角坐标、极坐标、柱面坐标……）。本节学的是：算出来是个啥？ 也就是重积分在几何、物理上的应用。

一句话总结：重积分就是"求总量"的工具。

• 二重积分 ${\iint }_{D}fd\sigma$ 就是在区域 $D$ 上把一个个小量 $fd\sigma$ 加起来。$f$ 是"每小块上的高度/密度"，加起来就是体积/质量。
• 三重积分 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}fdV$ 就是在空间立体 $\mathrm{\Omega }$ 里把 $fdV$ 加起来。$f$ 是"每小块的密度"，加起来就是总质量。

二重积分的三个经典应用

应用	公式	一句话记忆
求体积	$V={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$	高度 × 底面积，层层叠加
求面积	$A={\iint }_{D}d\sigma$	每个小块面积加起来就是总面积
求质量	$M={\iint }_D\rho (x,y)d\sigma$	密度 × 面积，局部加总

专插本重点预告

专插本考试里，本节最常考的就是"用二重积分求体积"——尤其旋转抛物面、球面、锥面与坐标平面围成的立体体积。三重积分考得少，但求体积/质量的公式也得会背。质心公式属于"了解"级别，会套就行。

记忆锚点：看到"围成的立体体积"→ 被积函数 = 上方曲面 − 下方曲面（或 $f\ge 0$ 时就是 $f$ 本身），积分区域 = 交线在 $xOy$ 面上的投影。三步走：找投影域 → 写被积函数 → 选坐标系开算。

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二、考点全爆破

考点 1：二重积分求曲顶柱体体积

曲顶柱体：底面是平面区域 $D$，顶面是曲面 $z=f(x,y)$（$f(x,y)\ge 0$），侧面垂直于底面。

$$V={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$

如果立体是"夹在两个曲面之间"（下方是 $z=g(x,y)$，上方是 $z=f(x,y)$，$f\ge g$），则：

$$V={\iint }_D[f(x,y)-g(x,y)]d\sigma$$

关键：先联立两曲面方程求出交线，交线在 $xOy$ 面上的投影就是区域 $D$。

考点 2：二重积分求平面薄片质量、质心

设平面薄片占据区域 $D$，面密度为 $\rho (x,y)$。

质量：$M={\iint }_D\rho (x,y)d\sigma$

质心：

$$\overline{x}={\displaystyle \frac{1}{M}}{\iint }_{D}x\rho (x,y)d\sigma ,\overline{y}={\displaystyle \frac{1}{M}}{\iint }_{D}y\rho (x,y)d\sigma$$

均匀薄片（$\rho$ 为常数，约掉）——质心就是形心，只需算两个积分：

$$\overline{x}={\displaystyle \frac{{\iint }_{D}xd\sigma }{{\iint }_{D}d\sigma }},\overline{y}={\displaystyle \frac{{\iint }_{D}yd\sigma }{{\iint }_{D}d\sigma }}$$

分母就是面积 $A={\iint }_{D}d\sigma$，分子是"面积对坐标轴的一次矩"。专插本一般考均匀薄片（半圆、三角形）的形心，会套这个简化公式就行。

考点 3：三重积分求空间立体体积、质量

设空间立体 $\mathrm{\Omega }$，体密度为 $\rho (x,y,z)$。

体积：$$V=\iiint_\Omega dV$$（被积函数就是 $1$！）

质量：$$M=\iiint_\Omega\rho(x,y,z),dV$$

易混预警：求体积时被积函数写 $1$；求质量时才写密度函数。千万别把"求体积"写成 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}xyzdV$ 之类。

考点 4（专插本重点）：二重积分求体积 + 面积公式应用

面积公式应用：$A={\iint }_{D}d\sigma$，极坐标下写作 $A={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}rdr$。

体积公式应用（三种高频模型）：

1. 旋转抛物面 + 平面：$z=x^2+y^2$ 与 $z=h$ 围成（或 $z=a-x^2-y^2$ 与 $z=0$）。
2. 球面 + 平面：$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$ 与 $z=0$ 围成半球。
3. 旋转体（壳层法）：平面区域 $D$ 绕坐标轴旋转。

旋转体体积的壳层公式（二重积分形式）：

• 绕 $x$ 轴旋转（$D$ 在 $x$ 轴上方，$y\ge 0$）：$$V=2\pi\iint_D y,d\sigma$$
• 绕 $y$ 轴旋转（$D$ 在 $y$ 轴右侧，$x\ge 0$）：$$V=2\pi\iint_D x,d\sigma$$

直观理解：面积微元 $d\sigma$ 绕轴转一圈，扫出一个半径为 $r$、厚为 $d\sigma$ 的"甜甜圈壳"，体积微元 $dV=2\pi rd\sigma$。绕 $x$ 轴半径是 $y$，绕 $y$ 轴半径是 $x$。

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三、例题精讲（4 道手把手解析例题）

例 1（旋转抛物面与平面围成的体积）

求由曲面 $z=4-x^2-y^2$ 与平面 $z=0$ 围成的立体体积。

题型定位：二重积分 → 体积 识别特征：旋转抛物面 + 水平面，有 $x^2+y^2$，用极坐标 手把手步骤：

1. 找投影域：交线为 $\{\begin{array}{l}z=4-x^2-y^2\\ z=0\end{array}$，即 $x^2+y^2=4$，投影域 $D:x^2+y^2\le 4$（半径 $2$ 的圆）。
2. 写被积函数：上方曲面 $z=4-x^2-y^2$，下方 $z=0$，$V={\iint }_D(4-x^2-y^2)d\sigma$。
3. 极坐标：$x^2+y^2=r^2$，$d\sigma =rdrd\theta$，$0\le \theta \le 2\pi$，$0\le r\le 2$。
4. 开算：$V={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^2(4-r^2)rdr=2\pi {\int }_0^2(4r-r^3)dr=2\pi [2r^2-{\displaystyle \frac{r^4}{4}}{]}_0^2=2\pi (8-4)=8\pi$结论：$\boxed{{\displaystyle 8\pi }}$避坑反思：投影域由"两曲面交线投影"决定，别想当然写单位圆。

例 2（两个曲面夹出的体积）

求由曲面 $z=x^2+y^2$ 与 $z=2-x^2-y^2$ 围成的立体体积。

题型定位：二重积分 → 两曲面之间体积 识别特征：上曲面 − 下曲面，交线是圆 手把手步骤：

1. 找交线：$x^2+y^2=2-x^2-y^2$，即 $x^2+y^2=1$。投影域 $D:x^2+y^2\le 1$。
2. 上曲面是 $z=2-x^2-y^2$（开口朝下），下曲面是 $z=x^2+y^2$（开口朝上）。
3. $V={\iint }_D[(2-x^2-y^2)-(x^2+y^2)]d\sigma ={\iint }_D(2-2r^2)rdrd\theta$
4. $V={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1(2r-2r^3)dr=2\pi [r^2-{\displaystyle \frac{r^4}{2}}{]}_0^1=2\pi (1-{\displaystyle \frac{1}{2}})=\pi$结论：$\boxed{{\displaystyle \pi }}$避坑反思：两个曲面都要参与，被积函数必须是"上 − 下"，漏掉下面那个就错。

例 3（球体体积，验证经典公式）

用二重积分证明半径为 $R$ 的球体体积为 ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$。

题型定位：二重积分 → 球体体积 识别特征：$\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，极坐标换元后内层可积 手把手步骤：

1. 上半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$ 与 $z=0$ 围成半球，体积为 ${\iint }_D\sqrt{R^2-x^2-y^2}d\sigma$，整个球体是对称的两倍。
2. $V=2{\iint }_{x^2+y^2\le R^2}\sqrt{R^2-x^2-y^2}d\sigma$
3. 极坐标：$=2{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R\sqrt{R^2-r^2}rdr$
4. 内层：令 $u=R^2-r^2$，$du=-2rdr$，${\int }_0^R\sqrt{R^2-r^2}rdr=[-{\displaystyle \frac{1}{3}}(R^2-r^2{)}^{3/2}{]}_0^R={\displaystyle \frac{R^3}{3}}$
5. $V=2\cdot 2\pi \cdot {\displaystyle \frac{R^3}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$结论：$\boxed{{\displaystyle V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3}}$避坑反思：外层 $2\pi$（转一整圈）别忘了；内层换元后上下限跟着变。

例 4（旋转体体积：壳层法）

求由曲线 $y=x^2$、直线 $y=x$ 围成的平面区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。

题型定位：二重积分 → 旋转体（壳层法） 识别特征：绕 $x$ 轴 → 被积函数乘 $y$，$V=2\pi {\iint }_{D}yd\sigma$手把手步骤：

1. 找区域：$y=x^2$ 与 $y=x$ 交于 $(0,0)$、$(1,1)$，$D:0\le x\le 1$，$x^2\le y\le x$。
2. 绕 $x$ 轴，$V=2\pi {\iint }_{D}yd\sigma =2\pi {\int }_0^{1}dx{\int }_{x^2}^{x}ydy$
3. $=2\pi {\int }_0^1{\displaystyle \frac{y^2}{2}}{|}_{x^2}^{x}dx=2\pi {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^2-x^4}{2}}dx=\pi [{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^5}{5}}{]}_0^1=\pi ({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}})={\displaystyle \frac{2\pi }{15}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2\pi }{15}}}}$避坑反思：绕 $x$ 轴乘的是 $y$（不是 $x$），且外壳的 $2\pi$ 不能丢。用"垫圈法"（$V=\pi {\int }_0^1[(x{)}^2-(x^2{)}^2]dx$）可交叉验证，结果一致。

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四、易错点警示（出题人最爱挖的 5 个坑）

坑 1：极坐标忘了乘 $r$

体积/面积题一旦用极坐标，$d\sigma =rdrd\theta$，$r$ 绝对不能丢！丢了结果直接错一个数量级。

坑 2：投影域找错

两曲面围成的体积，$D$ 是交线在 $xOy$ 面的投影，不是随便画个圆。先联立方程求交线，再定 $D$。例如 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 与 $z=x^2+y^2$ 的交线是 $x^2+y^2={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$ 这条圆，不是单位圆。

坑 3：上下曲面写反 / 忘做减法

被积函数必须是上方曲面 − 下方曲面。$z$ 越大的在上面。写反了体积会变负，或者漏减导致多算。

坑 4：壳层法公式记混

• 绕 $x$ 轴：$V=2\pi {\iint }_{D}yd\sigma$（半径是 $y$）
• 绕 $y$ 轴：$V=2\pi {\iint }_{D}xd\sigma$（半径是 $x$）

记法：绕哪根轴，半径就是另一根坐标。绕 $x$ 轴转，每点到轴的距离是 $|y|$。

坑 5：三重积分"体积"和"质量"混为一谈

求体积 $V={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}dV$，被积函数是 $1$；求质量才写密度 $\rho (x,y,z)$。很多同学求体积时手滑写成 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}zdV$，就错了。

兜底口诀：体积→积 1；质量→积密度；质心→分子乘坐标、分母是总质量（或总面积）。

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五、小结（一张表带走本节）

求什么	公式	注意
曲顶柱体体积	$V={\iint }_{D}fd\sigma$	$f\ge 0$
两曲面夹体积	$V={\iint }_D(f-g)d\sigma$	上减下，$D$ 是交线投影
平面区域面积	$A={\iint }_{D}d\sigma$	极坐标乘 $r$
薄片质量	$M={\iint }_D\rho d\sigma$	密度函数
薄片质心	$\overline{x}={\displaystyle \frac{{\iint }_{D}x\rho d\sigma }{M}}$	均匀薄片约掉 $\rho$
立体体积	$V={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}dV$	被积函数是 $1$
立体质量	$M={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\rho dV$	密度函数
旋转体体积（绕 $x$ 轴）	$V=2\pi {\iint }_{D}yd\sigma$	壳层法，半径 $y$
旋转体体积（绕 $y$ 轴）	$V=2\pi {\iint }_{D}xd\sigma$	半径 $x$

万能解题三步：

1. 画图：看清是"柱体、两曲面之间、还是旋转体"，确定用哪条公式。
2. 定域：找 $D$（交线投影）或 $\mathrm{\Omega }$，选直角坐标/极坐标（有圆就用极坐标）。
3. 开算：先内后外，极坐标不丢 $r$，算完检查结果正负。

本节对应同济八版教材 10-4 节。重点掌握：二重积分求体积（投影域 + 上减下）、面积公式、旋转体壳层公式；质心和三重积分应用会套公式即可。

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