2.1 导数的定义（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：瞬时速度

导数就是函数在某一点的瞬时变化率——好比车速表显示的不是过去一小时的平均速度，而是这一瞬间的实时速度。

数学上：求 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}$ 当 $\mathrm{\Delta }x$ 缩到 0 时的极限。

几何直观：切线斜率

$f^{\prime }(x_0)$ 就是曲线在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率。

• 斜率 > 0：曲线往上走
• 斜率 < 0：曲线往下走
• 斜率 = 0：曲线水平（平的点）

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二、考点全爆破

导数定义式（两种等价形式）

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

左导数与右导数

类型	定义式
左导数	$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$
右导数	$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$

可导的充要条件：$f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$

导数的几何意义

$k=f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$（切线的斜率）

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三、核心难点：用定义求导数的"配凑技巧"

难点：分子分母增量不一致时

示例：设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=0$，求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$。

直接看：${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=f^{\prime }(0)$。 因为 $f(0)=0$，分子恰好是 $f(x)-f(0)$，分母是 $x-0$，完美匹配定义式。

难点 2：增量有系数时

示例：设 $f^{\prime }(0)=2$，求 $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(3h)}{h}}$。

配凑：${\displaystyle \frac{f(3h)}{h}}={\displaystyle \frac{f(3h)-f(0)}{3h}}\cdot 3=f^{\prime }(0)\cdot 3=6$。 关键：分母要配成和分子增量一致（$3h$），然后补系数。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：分子分母增量不一致

$\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}$ 中 $h$ 同步变化。如果分子是 $f(x_0+2h)$，分母必须是 $2h$，不是 $h$。

坑 2：可导一定连续，但连续不一定可导

$y=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导（左导数 $-1$，右导数 $1$）。

坑 3：分段函数可导性判断

判断分段函数在分界点可导，必须用左右导数，不能直接看连续性。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（定义直接求导）

用定义求 $f(x)=x^2$ 在 $x=1$ 处的导数。

题型定位：导数定义 → 直接套公式 识别特征：明确要求"用定义求" 手把手步骤：

1. $f^{\prime }(1)=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(1+h{)}^2-1^2}{h}}$
2. $=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1+2h+h^2-1}{h}}=\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{2h+h^2}{h}}$
3. $=\underset{h\to 0}{lim}(2+h)=2$结论：$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(1)=2}}$避坑反思：展开后约分，$h$ 消掉后直接代入。

例 2（增量带系数）

设 $f^{\prime }(0)=3$，求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(2x)}{x}}$。

题型定位：导数定义 → 配凑系数 识别特征：分子增量有系数 手把手步骤：

1. 配凑：${\displaystyle \frac{f(2x)}{x}}={\displaystyle \frac{f(2x)-f(0)}{2x}}\cdot 2$
2. $=f^{\prime }(0)\cdot 2=3\cdot 2=6$结论：$\boxed{{\displaystyle 6}}$避坑反思：分母是 $x$，分子增量是 $2x$，必须补系数 2。

例 3（判断可导性）

判断 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处是否可导。

题型定位：可导性 → 左右导数 识别特征：绝对值函数在尖点 手把手步骤：

1. 左导数：$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{|x|-0}{x}}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{-x}{x}}=-1$
2. 右导数：$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{|x|-0}{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{x}{x}}=1$
3. 左导数 $\ne$ 右导数 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{不可导}}}$避坑反思：$|x|$ 在 0 处是尖点，连续但不可导。

例 4（分段函数含参可导）

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<1\\ ax+b,& x\ge 1\end{array}$ 在 $x=1$ 处可导，求 $a,b$。

题型定位：可导性 → 含参分段函数 识别特征：分段函数在分界点可导求参数 手把手步骤：

1. 左导数：$\underset{x\to 1^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}(x+1)=2$
2. 右导数：$\underset{x\to 1^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{ax+b-1}{x-1}}$，由连续性 $f(1)=1$ 得 $a+b=1$
3. 右导数 $=\underset{x\to 1^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{ax-a}{x-1}}=a$
4. 可导要求 $a=2$，再由 $a+b=1$ 得 $b=-1$结论：$\boxed{{\displaystyle a=2,b=-1}}$避坑反思：可导必连续，先用连续性求一个关系，再用左右导数相等求另一个。

例 5（定义配凑综合）

设 $f(x)$ 在 $x=a$ 可导，求 $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}}$。

题型定位：导数定义 → 双增量配凑 识别特征：分子有两个不同增量 手把手步骤：

1. 拆分：${\displaystyle \frac{f(a+2h)-f(a)}{h}}+{\displaystyle \frac{f(a)-f(a-h)}{h}}$
2. 第一项：${\displaystyle \frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}}\cdot 2\to 2f^{\prime }(a)$
3. 第二项：${\displaystyle \frac{f(a)-f(a-h)}{h}}={\displaystyle \frac{f(a-h)-f(a)}{-h}}\to f^{\prime }(a)$
4. 总计 $=2f^{\prime }(a)+f^{\prime }(a)=3f^{\prime }(a)$结论：$\boxed{{\displaystyle 3f^{\prime }(a)}}$避坑反思：$-h\to 0$ 时 $f(a-h)$ 的增量是 $-h$，注意符号。

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=0$，则 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=$（ ） A. $f^{\prime }(0)$ B. $0$ C. 不存在 D. $f(0)$

2. $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处（ ） A. 可导 B. 连续但不可导 C. 不连续 D. 无定义

填空题

3. 可导 $\Rightarrow$ ______（连续/不连续）。

4. 导数 $f^{\prime }(x_0)$ 的几何意义是曲线在 $x_0$ 处的 ______。

解答题

5. 设 $f^{\prime }(1)=4$，求 $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(1+3h)-f(1)}{h}}$。

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答案与详细解析

1. 答案：A（直接匹配定义式） 2. 答案：B（连续但不可导，左右导数不等） 3. 答案：连续4. 答案：切线斜率5. 答案：$12$（${\displaystyle \frac{f(1+3h)-f(1)}{3h}}\cdot 3=f^{\prime }(1)\cdot 3=12$）