2.13 泰勒公式与麦克劳林公式（专升本全勤版）

---

一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：用多项式"模仿"复杂函数

泰勒公式就是用多项式去模仿一个复杂函数——在某个点附近，用多项式算出来的值和原函数几乎一样。

好比用"拼积木"搭出一个函数：多项式就是积木块，搭得越多越像。

麦克劳林 = 泰勒在 $x=0$ 处

麦克劳林公式就是泰勒公式取 $x_0=0$ 的特例，考试中考得最多。

---

二、考点全爆破

泰勒公式

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

麦克劳林公式（$x_0=0$）

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$$

常用麦克劳林展开（必背！）

函数	展开式
$e^x$	$1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+\cdots$
$\sin x$	$x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}-\cdots$
$\cos x$	$1-{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^4}{4!}}-\cdots$
$\ln (1+x)$	$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-\cdots$
${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$	$1+x+x^2+x^3+\cdots$
$(1+x{)}^a$	$1+ax+{\displaystyle \frac{a(a-1)}{2!}}{x}^2+\cdots$

---

三、核心难点：泰勒展开求极限

套路：展开到"够用"的阶数

求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x-x}{x^3}}$：

$\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+o(x^3)$。 代入：${\displaystyle \frac{x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)-x}{x^3}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$。

关键：展开的阶数要高于分母的阶数（分母是 $x^3$，展开到 $x^3$ 项就够）。

---

四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：展开阶数不够

分母是 $x^3$，分子只展开到 $x^2$ 就不够——必须展开到比分母高一次或至少同级。

坑 2：忘记写余项

理论题要求写 $R_n(x)$ 余项，别丢。

坑 3：$\sin x$ 和 $\cos x$ 展开记混

$\sin x$ 只有奇次项（$x,x^3,x^5$），$\cos x$ 只有偶次项（$1,x^2,x^4$）。

---

五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（$e^x$ 展开）

写出 $e^x$ 的 3 阶麦克劳林展开。

题型定位：泰勒 → 展开 识别特征：要求写展开式 手把手步骤：

1. $e^0=1$，$f^{\prime }(0)=1$，$f^{″}(0)=1$，$f^{‴}(0)=1$
2. 展开：$1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}$结论：$\boxed{{\displaystyle 1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}}}$

例 2（泰勒展开求极限）

求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x^2}}$。

题型定位：泰勒 → 求极限 识别特征：${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 型 手把手步骤：

1. $\cos x=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+o(x^2)$
2. 代入：${\displaystyle \frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

例 3（$\ln (1+x)$ 展开）

写出 $\ln (1+x)$ 的 3 阶麦克劳林展开。

题型定位：泰勒 → 展开 识别特征：对数展开 手把手步骤：

1. $f(0)=0$，$f^{\prime }(0)=1$，$f^{″}(0)=-1$，$f^{‴}(0)=2$
2. $x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}$结论：$\boxed{{\displaystyle x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}}}$

例 4（$\sin x$ 展开求极限）

求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x-x}{x^3}}$。

题型定位：泰勒 → 求极限 识别特征：${\displaystyle \frac{0}{0}}$ 型，分子复杂 手把手步骤：

1. $\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+o(x^3)$
2. 代入：${\displaystyle \frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$结论：$\boxed{{\displaystyle -{\displaystyle \frac{1}{6}}}}$

例 5（高阶展开）

写出 $(1+x{)}^{\frac{1}{2}}$ 的 2 阶麦克劳林展开。

题型定位：泰勒 → 广义二项式 识别特征：$(1+x{)}^a$ 型 手把手步骤：

1. $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$：$f(0)=1$，$f^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$，$f^{″}(0)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$
2. $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2$结论：$\boxed{{\displaystyle 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2}}$

---

六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 麦克劳林是泰勒在 $x_0=$（ ）处的特例 A. 1 B. 0 C. $\mathrm{\infty }$ D. $e$

2. $\sin x$ 的展开式中含（ ） A. 只有偶次项 B. 只有奇次项 C. 奇偶都有 D. 常数项

填空题

3. $e^x$ 的展开式为 ______。

4. $\cos x$ 展开后 $x^2$ 项的系数是 ______。

解答题

5. 用泰勒公式求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan x-x}{x^3}}$。

---

答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B（$x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}-\cdots$） 3. 答案：$1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+\cdots$4. 答案：$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$5. 答案：${\displaystyle \frac{1}{3}}$
解析：$\tan x=x+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+o(x^3)$，${\displaystyle \frac{\frac{x^3}{3}}{x^3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$。