2.4 复合函数的求导方法（链式法则）（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：剥洋葱

复合函数求导就像剥洋葱——从外到内，一层一层剥，每层都求导，然后乘起来。

$y=\sin (2x)$：先剥 $\sin$（外层）得 $\cos$，再剥 $2x$（内层）得 $2$，相乘得 $\cos (2x)\cdot 2$。

为什么是相乘？

因为复合函数的"变化率"是各层变化率的乘积——外层对中间变量变多少 × 中间变量对 $x$ 变多少 = 外层对 $x$ 变多少。

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二、考点全爆破

链式法则（核心公式）

$$y=f[g(x)],y^{\prime }=f^{\prime }[g(x)]\cdot g^{\prime }(x)$$

多层复合推广

$$y=f(g(h(x)))\Rightarrow y^{\prime }=f^{\prime }(g(h(x)))\cdot g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$$

常见复合结构速查

外层	内层	导数结果
$\sin (◻)$	$2x$	$\cos (2x)\cdot 2$
$e^{◻}$	$x^2$	$e^{x^2}\cdot 2x$
$\ln (◻)$	$\sin x$	${\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}=\cot x$
$(◻{)}^n$	$3x+1$	$n(3x+1{)}^{n-1}\cdot 3$

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三、核心难点：多层复合的"逐层剥"

套路：从外到内，每层都要求导

示例：求 $y=\sin (e^{x^2})$ 的导数。

三层：外层 $\sin$，中层 $e$，内层 $x^2$。 一层层剥： 外层：$\cos (e^{x^2})$ 中层：$\cdot e^{x^2}$ 内层：$\cdot 2x$ 结果：$y^{\prime }=\cos (e^{x^2})\cdot e^{x^2}\cdot 2x$

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：漏掉内层导数（最常犯！）

$y=\sin (2x)$ 的导数不是 $\cos (2x)$，而是 $\cos (2x)\cdot 2$。内层 $2x$ 的导数不能丢。

坑 2：多层复合跳步

三层以上的复合，必须一层层剥，不能直接跳到最内层。

坑 3：符号写错

$(\cos ◻{)}^{\prime }=-\sin ◻\cdot {◻}^{\prime }$，负号别丢。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（单层复合）

求 $y=\sin (2x)$ 的导数。

题型定位：复合求导 → 单层 识别特征：外层 $\sin$，内层 $2x$手把手步骤：

1. 外层求导：$\cos (2x)$
2. 内层求导：$2$
3. 相乘 结论：$\boxed{{\displaystyle y^{\prime }=2\cos (2x)}}$

例 2（指数复合）

求 $y=e^{x^2}$ 的导数。

题型定位：复合求导 → 指数 识别特征：外层 $e$，内层 $x^2$手把手步骤：

1. 外层求导：$e^{x^2}$
2. 内层求导：$2x$
3. 相乘 结论：$\boxed{{\displaystyle y^{\prime }=2x{e}^{x^2}}}$

例 3（对数复合）

求 $y=\ln (\sin x)$ 的导数。

题型定位：复合求导 → 对数 识别特征：外层 $\ln$，内层 $\sin x$手把手步骤：

1. 外层求导：${\displaystyle \frac{1}{\sin x}}$
2. 内层求导：$\cos x$
3. 相乘：${\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}$结论：$\boxed{{\displaystyle y^{\prime }=\cot x}}$

例 4（幂复合）

求 $y=(3x+1{)}^5$ 的导数。

题型定位：复合求导 → 幂函数 识别特征：外层幂，内层一次函数 手把手步骤：

1. 外层求导：$5(3x+1{)}^4$
2. 内层求导：$3$
3. 相乘 结论：$\boxed{{\displaystyle y^{\prime }=15(3x+1{)}^4}}$

例 5（三层复合）

求 $y=\sin (e^{x^2})$ 的导数。

题型定位：复合求导 → 多层 识别特征：三层复合结构 手把手步骤：

1. 外层 $\sin$：$\cos (e^{x^2})$
2. 中层 $e$：$\cdot e^{x^2}$
3. 内层 $x^2$：$\cdot 2x$
4. 全部相乘 结论：$\boxed{{\displaystyle y^{\prime }=2x{e}^{x^2}\cos (e^{x^2})}}$避坑反思：三层复合最容易漏中间层，必须逐层写出来。

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $y=\cos (x^2)$，则 $y^{\prime }=$（ ） A. $\sin (x^2)$ B. $-\sin (x^2)$ C. $-2x\sin (x^2)$ D. $2x\sin (x^2)$

2. 链式法则的本质是（ ） A. 各层导数相加 B. 各层导数相乘 C. 只求外层 D. 只求内层

填空题

3. $y=\ln (x^2+1)$，$y^{\prime }=$ ______。

4. $y=\sqrt{\ln x}$，$y^{\prime }=$ ______。

解答题

5. 求 $y={\sin }^{3}x$（即 $(\sin x{)}^3$）的导数。

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答案与详细解析

1. 答案：C（$-\sin (x^2)\cdot 2x$） 2. 答案：B3. 答案：${\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$4. 答案：${\displaystyle \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}}$（外层幂 $={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{\ln x}}}$，内层 $\ln x$ 导 ${\displaystyle \frac{1}{x}}$） 5. 答案：$3{\sin }^{2}x\cos x$（外层 $(◻{)}^3$ 导 $3{\sin }^{2}x$，内层 $\sin x$ 导 $\cos x$）