2.5 隐函数与参数方程求导方法（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：y 藏在方程里

隐函数就是 $y$ 没有直接写成 $f(x)$，而是混在方程里（如 $x^2+y^2=1$）。

求导方法：两边同时对 $x$ 求导，遇到 $y$ 就加个 $y^{\prime }$，再把 $y^{\prime }$ 解出来。

参数方程就是 $x$ 和 $y$ 都通过第三个变量 $t$ 表达，求 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ 用 ${\displaystyle \frac{dy/dt}{dx/dt}}$。

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二、考点全爆破

隐函数求导（两边求导法）

套路：

1. 方程两边同时对 $x$ 求导
2. 遇到含 $y$ 的项，求导后乘以 $y^{\prime }$（因为 $y$ 是 $x$ 的函数）
3. 解出 $y^{\prime }$

示例：$x^2+y^2=1$，求 $y^{\prime }$。

两边求导：$2x+2y\cdot y^{\prime }=0$，解得 $y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{x}{y}}$。

参数方程求导

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$$

对数求导法（取对数化乘除为加减）

遇到幂指函数 $y=x^{\sin x}$ 或多因子乘除，取对数再求导。

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三、核心难点：隐函数二阶导数

套路：先求一阶，再对一阶结果继续求导

示例：$x^2+y^2=1$，求 $y^{″}$。

一阶：$y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{x}{y}}$。 二阶：$y^{″}=-{\displaystyle \frac{y-x{y}^{\prime }}{y^2}}=-{\displaystyle \frac{y-x(-\frac{x}{y})}{y^2}}=-{\displaystyle \frac{y+\frac{x^2}{y}}{y^2}}=-{\displaystyle \frac{y^2+x^2}{y^3}}=-{\displaystyle \frac{1}{y^3}}$。 （因为 $x^2+y^2=1$）

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：隐函数求导忘乘 $y^{\prime }$

$x^2+y^2=1$ 求导时，$(y^2{)}^{\prime }=2y\cdot y^{\prime }$，这个 $y^{\prime }$ 千万别丢！

坑 2：参数方程二阶导直接对 $t$ 求导

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}={\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)\cdot {\displaystyle \frac{dt}{dx}}$，不是直接 ${\displaystyle \frac{y^{″}(t)}{x^{″}(t)}}$！

坑 3：幂指函数不会处理

$y=x^x$ 这类幂指函数，必须取对数再求导。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（隐函数求导）

求 $e^y+xy=e$ 所确定的隐函数 $y$ 的导数。

题型定位：隐函数 → 两边求导 识别特征：方程中 $y$ 与 $x$ 混在一起 手把手步骤：

1. 两边对 $x$ 求导：$e^y\cdot y^{\prime }+y+x{y}^{\prime }=0$
2. 合并：$y^{\prime }(e^y+x)=-y$
3. 解出 结论：$\boxed{{\displaystyle y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{y}{e^y+x}}}}$避坑反思：$(e^y{)}^{\prime }=e^y\cdot y^{\prime }$，别忘了 $y^{\prime }$。

例 2（参数方程一阶导）

$\{\begin{array}{l}x=t^2\\ y=t^3\end{array}$，求 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$。

题型定位：参数方程 → 一阶导 识别特征：$x,y$ 都用 $t$ 表达 手把手步骤：

1. ${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=3t^2$，${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=2t$
2. ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{dy/dt}{dx/dt}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{3}{2}}t}}$

例 3（对数求导法）

求 $y=x^{\sin x}$ 的导数。

题型定位：幂指函数 → 对数求导 识别特征：底数和指数都含 $x$手把手步骤：

1. 两边取 $\ln$：$\ln y=\sin x\ln x$
2. 两边求导：${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{y}}=\cos x\ln x+{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$
3. 乘以 $y$： 结论：$\boxed{{\displaystyle y^{\prime }=x^{\sin x}(\cos x\ln x+{\displaystyle \frac{\sin x}{x}})}}$

例 4（隐函数求导+代入求值）

设 $x^2+y^2=25$，求在点 $(3,4)$ 处的 $y^{\prime }$。

题型定位：隐函数 → 定点求值 识别特征：求某点的导数值 手把手步骤：

1. 两边求导：$2x+2y{y}^{\prime }=0$，$y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{x}{y}}$
2. 代入 $(3,4)$结论：$\boxed{{\displaystyle y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{3}{4}}}}$

例 5（参数方程二阶导）

$\{\begin{array}{l}x=t^2\\ y=t^3\end{array}$，求 ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$。

题型定位：参数方程 → 二阶导 识别特征：求二阶导 手把手步骤：

1. 一阶：${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{3}{2}}t$
2. 二阶：${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}={\displaystyle \frac{d}{dt}}({\displaystyle \frac{3}{2}}t)\cdot {\displaystyle \frac{dt}{dx}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2t}}={\displaystyle \frac{3}{4t}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}={\displaystyle \frac{3}{4t}}}}$避坑反思：二阶导要除以 ${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$，不是直接对 $t$ 再求导一次。

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 隐函数 $x^2+y^2=4$，则 $y^{\prime }=$（ ） A. $-{\displaystyle \frac{x}{y}}$ B. ${\displaystyle \frac{x}{y}}$ C. $-{\displaystyle \frac{y}{x}}$ D. ${\displaystyle \frac{y}{x}}$

2. 参数方程 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=$（ ） A. ${\displaystyle \frac{{\phi }^{\prime }(t)}{{\psi }^{\prime }(t)}}$ B. ${\displaystyle \frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}}$ C. ${\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime }(t)$ D. ${\displaystyle \frac{\psi (t)}{\phi (t)}}$

填空题

3. 幂指函数求导要先用 ______。

4. $y=x^x$，$y^{\prime }=$ ______。

解答题

5. 设 $\sin (xy)+y^2=x$，求 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$。

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答案与详细解析

1. 答案：A（$2x+2y{y}^{\prime }=0$） 2. 答案：B3. 答案：对数求导法（两边取 ln）4. 答案：$x^x(\ln x+1)$5. 答案：$y^{\prime }={\displaystyle \frac{1-y\cos (xy)}{x\cos (xy)+2y}}$
解析：两边求导：$\cos (xy)(y+x{y}^{\prime })+2y{y}^{\prime }=1$，整理得 $y^{\prime }[x\cos (xy)+2y]=1-y\cos (xy)$。