2.6 高阶导数（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：求导一次，再求导一次，再求导……

高阶导数就是对函数反复求导。

物理意义：位移的一阶导是速度，二阶导是加速度。

几何直观：为什么二阶导重要？

$f^{″}(x)>0$ 表示曲线凹（像碗），$f^{″}(x)<0$ 表示曲线凸（像帽子）——这会在后面极值章节用到。

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二、考点全爆破

常见函数的高阶导数公式（必背！）

函数	$n$ 阶导数
$(e^x{)}^{(n)}$	$e^x$
$(\sin x{)}^{(n)}$	$\sin (x+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$
$(\cos x{)}^{(n)}$	$\cos (x+{\displaystyle \frac{n\pi }{2}})$
$(x^m{)}^{(n)}$	$m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{m-n}$
$(\ln x{)}^{(n)}$	$(-1{)}^{n-1}{\displaystyle \frac{(n-1)!}{x^n}}$

莱布尼茨公式（乘积的高阶导）

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}$$

和二项式展开长得一样，只是把幂次换成求导阶数。

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三、核心难点：周期性函数的高阶导

套路：利用三角函数的周期性

$(\sin x{)}^{(n)}$ 以 4 为周期：

• $(\sin x{)}^{(1)}=\cos x$
• $(\sin x{)}^{(2)}=-\sin x$
• $(\sin x{)}^{(3)}=-\cos x$
• $(\sin x{)}^{(4)}=\sin x$（回到原样）

示例：求 $(\sin x{)}^{(100)}$。

$100$ 是 4 的倍数，所以 $(\sin x{)}^{(100)}=\sin x$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：硬算高阶导

求 $(\sin x{)}^{(100)}$ 硬算 100 次？必须用周期规律。

坑 2：莱布尼茨公式不会用

乘积的高阶导用莱布尼茨公式，别把 $(uv{)}^{(n)}$ 写成 $u^{(n)}{v}^{(n)}$（那是错的）。

坑 3：幂函数高阶导的阶数条件

$(x^m{)}^{(n)}$ 当 $n>m$ 时结果是 $0$（求到 0 了）。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（指数高阶导）

求 $f(x)=e^{2x}$ 的 $f^{(3)}(x)$。

题型定位：高阶导 → 指数 识别特征：指数函数 手把手步骤：

1. $f^{\prime }(x)=2e^{2x}$
2. $f^{″}(x)=4e^{2x}$
3. $f^{(3)}(x)=8e^{2x}$结论：$\boxed{{\displaystyle f^{(3)}(x)=8e^{2x}=2^3{e}^{2x}}}$

例 2（正弦高阶导）

求 $(\sin x{)}^{(4)}(x)$。

题型定位：高阶导 → 三角周期 识别特征：正弦高阶 手把手步骤：

1. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
2. $(\sin x{)}^{″}=-\sin x$
3. $(\sin x{)}^{‴}=-\cos x$
4. $(\sin x{)}^{(4)}=\sin x$结论：$\boxed{{\displaystyle \sin x}}$

例 3（周期规律）

求 $(\cos x{)}^{(2016)}$。

题型定位：高阶导 → 周期规律 识别特征：大阶数 手把手步骤：

1. $\cos x$ 求导周期为 4
2. $2016=4\times 504$，整除 结论：$\boxed{{\displaystyle (\cos x{)}^{(2016)}=\cos x}}$

例 4（幂函数高阶导）

求 $(x^5{)}^{(3)}$。

题型定位：高阶导 → 幂函数 识别特征：幂函数 手把手步骤：

1. $(x^5{)}^{\prime }=5x^4$
2. $(x^5{)}^{″}=20x^3$
3. $(x^5{)}^{‴}=60x^2$结论：$\boxed{{\displaystyle 60x^2}}$

例 5（莱布尼茨公式）

求 $y=x^2{e}^x$ 的 $y^{(3)}$。

题型定位：高阶导 → 莱布尼茨 识别特征：乘积结构 手把手步骤：

1. 令 $u=x^2$，$v=e^x$：$u^{\prime }=2x$，$u^{″}=2$，$u^{‴}=0$；$v^{(k)}=e^x$ 对所有 $k$
2. 莱布尼茨：$y^{(3)}=C_3^0{x}^2{e}^x+C_3^1(2x)e^x+C_3^2(2)e^x+C_3^3(0)e^x$
3. $=x^2{e}^x+6x{e}^x+6e^x$结论：$\boxed{{\displaystyle y^{(3)}=e^x(x^2+6x+6)}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $(\sin x{)}^{(2016)}=$（ ） A. $\sin x$ B. $\cos x$ C. $-\sin x$ D. $-\cos x$

2. $(uv{)}^{(n)}$ 用什么公式？（ ） A. 乘法法则 B. 链式法则 C. 莱布尼茨公式 D. 洛必达

填空题

3. $(e^x{)}^{(n)}=$ ______。

4. $(x^5{)}^{(6)}=$ ______。

解答题

5. 求 $f(x)=\ln (1+x)$ 的 $f^{(3)}(x)$。

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答案与详细解析

1. 答案：A（$2016$ 是 4 的倍数） 2. 答案：C3. 答案：$e^x$4. 答案：$0$（$n=6>m=5$） 5. 答案：${\displaystyle \frac{2}{(1+x{)}^3}}$
解析：$f^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{1+x}}$，$f^{″}=-{\displaystyle \frac{1}{(1+x{)}^2}}$，$f^{(3)}={\displaystyle \frac{2}{(1+x{)}^3}}$。