3.1 原函数与不定积分的概念及性质（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：求导是"破坏"，积分是"修复"

求导是破坏，积分是修复。

如果 $f(x)$ 是 $F(x)$ 的导数，那么 $F(x)$ 就是 $f(x)$ 的原函数。不定积分就是找所有原函数（加上常数 $C$）。

好比：求导把积木拆成零件，积分把零件装回积木。但装回去的时候忘了原来的样子（差一个常数 $C$），所以答案要写 $+C$。

为什么一定加 $C$？

因为 $(x^2{)}^{\prime }=2x$，$(x^2+3{)}^{\prime }=2x$，$(x^2-5{)}^{\prime }=2x$——任何 $x^2+C$ 的导数都是 $2x$。所以 $\int 2xdx=x^2+C$，$C$ 不能丢。

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二、考点全爆破

原函数定义

$F^{\prime }(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

不定积分

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

基本性质（必背！）

性质	公式
线性性质	$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$
加减拆分	$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$
先积后导	${[\int f(x)dx]}^{\prime }=f(x)$
先导后积	$\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C$

重要规律：原函数相差常数

$f(x)$ 的任意两个原函数之差是常数：$F_1(x)-F_2(x)=C$

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三、核心难点："先导后积"与"先积后导"的区别

套路：记清顺序

顺序	结果
先积后导：$[\int f(x)dx{]}^{\prime }$	$=f(x)$（没有 $C$）
先导后积：$\int f^{\prime }(x)dx$	$=f(x)+C$（有 $C$）

示例：$[\int e^{x}dx{]}^{\prime }=e^x$，而 $\int (e^x{)}^{\prime }dx=e^x+C$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：不定积分忘写 $C$

$\int 2xdx=x^2$ 是错的，必须写 $x^2+C$。填空题漏 $C$ 直接扣分。

坑 2：先积后导 vs 先导后积搞混

先积后导没 $C$，先导后积有 $C$——选择题最爱考这个区别。

坑 3：$\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=\ln |x|+C$ 丢绝对值

绝对值别丢！$\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=\ln |x|+C$，不是 $\ln x+C$。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（直接积分）

求 $\int 3x^{2}dx$。

题型定位：不定积分 → 直接积分 识别特征：幂函数 手把手步骤：

1. 问：谁的导数是 $3x^2$？→ $x^3$
2. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle x^3+C}}$

例 2（线性性质）

求 $\int (2x+1)dx$。

题型定位：不定积分 → 拆分 识别特征：多项式 手把手步骤：

1. 拆分：$\int 2xdx+\int 1dx$
2. $=x^2+x$
3. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle x^2+x+C}}$

例 3（先积后导）

求 $[\int \sin xdx{]}^{\prime }$。

题型定位：不定积分 → 积导互逆 识别特征：先积分再求导 手把手步骤：

1. $\int \sin xdx=-\cos x+C$
2. 再求导：$(-\cos x+C{)}^{\prime }=\sin x$结论：$\boxed{{\displaystyle \sin x}}$

例 4（先导后积）

求 $\int (e^x{)}^{\prime }dx$。

题型定位：不定积分 → 积导互逆 识别特征：先求导再积分 手把手步骤：

1. $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
2. $\int e^{x}dx=e^x+C$结论：$\boxed{{\displaystyle e^x+C}}$

例 5（原函数求参数）

设 $F(x)$ 是 $f(x)=3x^2$ 的一个原函数，且 $F(1)=4$，求 $F(x)$。

题型定位：不定积分 → 含参原函数 识别特征：已知条件求常数 手把手步骤：

1. $F(x)=\int 3x^{2}dx=x^3+C$
2. 代入 $F(1)=4$：$1+C=4$，$C=3$结论：$\boxed{{\displaystyle F(x)=x^3+3}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $\int x^{2}dx=$（ ） A. ${\displaystyle \frac{x^3}{3}}$ B. ${\displaystyle \frac{x^3}{3}}+C$ C. $x^3+C$ D. $2x$

2. $[\int \cos xdx{]}^{\prime }=$（ ） A. $\cos x$ B. $\sin x+C$ C. $\sin x$ D. $-\sin x$

填空题

3. $\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=$ ______。

4. 先导后积的结果 ______（有/没有）$C$。

解答题

5. 设 $f(x)$ 的一个原函数为 $x\ln x$，求 $\int f(x)dx$。

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答案与详细解析

1. 答案：B（${\displaystyle \frac{x^3}{3}}+C$） 2. 答案：A（先积后导，没有 $C$） 3. 答案：$\ln |x|+C$4. 答案：有5. 答案：$x\ln x+C$（"一个原函数为 $x\ln x$"，则 $\int f(x)dx=x\ln x+C$）