3.10 定积分的分部积分法（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：和不定积分一样，多一步代入

定积分分部积分和不定积分分部一样，但多了一步——代入上下限。

$${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

选 $u$ 的规则一样：反对幂指三。

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二、考点全爆破

公式

$${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

注意

• $[uv{]}_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)$（上限减下限）
• ${\int }_a^{b}vdu$ 也要带上下限

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三、核心难点：分部后积分部分也要带限

套路：三步走

1. 选 $u,dv$，算 $du,v$
2. 代入公式 $[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$
3. 继续积分并代入上下限

示例：${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$

选 $u=x$，$dv=e^{x}dx$：$du=dx$，$v=e^x$。 $[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=(e-0)-(e-1)=1$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：$[uv{]}_a^b$ 代入顺序

$[uv{]}_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)$，上限减下限，别反。

坑 2：${\int }_a^{b}vdu$ 忘带限

分部后的积分部分 ${\int }_a^{b}vdu$ 也要带上下限。

坑 3：选 $u$ 选错

${\int }_0^{1}x\ln xdx$ 选 $u=\ln x$（对数优先级高），不是 $u=x$。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（$x{e}^x$ 型）

求 ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$。

题型定位：定积分分部 → 幂乘指数 识别特征：$x\cdot e^x$手把手步骤：

1. 选 $u=x$，$dv=e^{x}dx$：$du=dx$，$v=e^x$
2. $[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx$
3. $=(e-0)-(e-1)=1$结论：$\boxed{{\displaystyle 1}}$

例 2（$x\ln x$ 型）

求 ${\int }_1^{e}x\ln xdx$。

题型定位：定积分分部 → 幂乘对数 识别特征：含 $\ln x$手把手步骤：

1. 选 $u=\ln x$，$dv=xdx$：$du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$，$v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$
2. $[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x{]}_1^e-{\int }_1^e{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx$
3. $={\displaystyle \frac{e^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}{|}_1^e={\displaystyle \frac{e^2}{2}}-({\displaystyle \frac{e^2}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{4}})={\displaystyle \frac{e^2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{e^2+1}{4}}}}$

例 3（$x\sin x$ 型）

求 ${\int }_0^{\pi }x\sin xdx$。

题型定位：定积分分部 → 幂乘三角 识别特征：$x\sin x$手把手步骤：

1. 选 $u=x$，$dv=\sin xdx$：$du=dx$，$v=-\cos x$
2. $[-x\cos x{]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }(-\cos x)dx$
3. $=\pi +[\sin x{]}_0^{\pi }=\pi$结论：$\boxed{{\displaystyle \pi }}$

例 4（纯对数）

求 ${\int }_1^e\ln xdx$。

题型定位：定积分分部 → 纯对数 识别特征：只有 $\ln x$手把手步骤：

1. 选 $u=\ln x$，$dv=dx$：$du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$，$v=x$
2. $[x\ln x{]}_1^e-{\int }_1^{e}x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx$
3. $=e-0-(e-1)=1$结论：$\boxed{{\displaystyle 1}}$

例 5（两次分部）

求 ${\int }_0^{\pi }{x}^2\sin xdx$。

题型定位：定积分分部 → 两次 识别特征：$x^2\sin x$ 需要两次分部 手把手步骤：

1. 第一次：$u=x^2$，$dv=\sin xdx$：$[-x^2\cos x{]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }2x(-\cos x)dx$
2. $={\pi }^2+2{\int }_0^{\pi }x\cos xdx$
3. 第二次：${\int }_0^{\pi }x\cos xdx=[x\sin x{]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }\sin xdx=0-2=-2$
4. 总计：${\pi }^2+2(-2)={\pi }^2-4$结论：$\boxed{{\displaystyle {\pi }^2-4}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 定积分分部公式是（ ） A. $[uv{]}_a^b+{\int }_a^{b}vdu$ B. $[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$ C. $uv-\int du$ D. $[uv]$

2. $[uv{]}_a^b=$（ ） A. $u(a)v(b)-u(b)v(a)$ B. $u(b)v(b)-u(a)v(a)$ C. $u(a)v(a)-u(b)v(b)$ D. $uv$

填空题

3. ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=$ ______。

4. 选 $u$ 的口诀 ______。

解答题

5. 求 ${\int }_0^{1}x\arctan xdx$。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B（上限减下限） 3. 答案：$1$4. 答案：反对幂指三5. 答案：${\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
解析：$u=\arctan x$，$dv=xdx$，$v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$，$du={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx$。$[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\arctan x{]}_0^1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}dx={\displaystyle \frac{\pi }{8}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$。