3.11 积分变限函数及其导数（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：上限是变量，积分就是函数

积分上限是变量 $x$ 时，积分结果就是 $x$ 的函数。

$$\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

对这个函数求导，等于把上限代入被积函数，再乘以上限的导数。

直观理解

$\mathrm{\Phi }(x)$ 表示"从 $a$ 到 $x$ 的面积"，$x$ 动一点，面积就变——变化率就是 $f(x)$（把 $x$ 处的高度）。

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二、考点全爆破

基本求导公式

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

推广（上限是函数）

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{\phi (x)}f(t)dt=f[\phi (x)]\cdot {\phi }^{\prime }(x)$$

通用公式（上下限都是函数）

$$\frac{d}{dx}{\int }_{\psi (x)}^{\phi (x)}f(t)dt=f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)-f[\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)$$

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三、核心难点：上下限都是函数的求导

套路：上限贡献正项，下限贡献负项

示例：求 ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_x^{x^2}\sin tdt$

上限 $x^2$：$\sin (x^2)\cdot 2x$。 下限 $x$：$-\sin (x)\cdot 1$。 结果：$2x\sin (x^2)-\sin x$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：上限是函数时忘乘导数

${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_0^{x^2}f(t)dt=f(x^2)\cdot 2x$，这个 $2x$ 不能丢。

坑 2：下限是函数时忘变号

下限是 $\psi (x)$ 时，贡献 $-f[\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)$，有负号。

坑 3：被积函数里有 $x$ 不会处理

被积函数含 $x$（如 ${\int }_0^{x}xtdt$）时，先把 $x$ 提出去再求导（对 $t$ 积分时 $x$ 是常数）。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（基本公式）

求 ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_0^x\sin (t^2)dt$。

题型定位：变限积分 → 基本 识别特征：上限就是 $x$手把手步骤：

1. 直接套公式：$f(x)=\sin (x^2)$，上限导数 $1$
2. $\sin (x^2)\cdot 1$结论：$\boxed{{\displaystyle \sin (x^2)}}$

例 2（上限是函数）

求 ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_0^{x^2}{e}^{t}dt$。

题型定位：变限积分 → 上限函数 识别特征：上限 $x^2$手把手步骤：

1. 代入上限：$e^{x^2}$
2. 乘上限导数：$2x$结论：$\boxed{{\displaystyle 2x{e}^{x^2}}}$

例 3（上下限都是函数）

求 ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_x^{x^2}\cos tdt$。

题型定位：变限积分 → 双函数限 识别特征：上下限都含 $x$手把手步骤：

1. 上限：$\cos (x^2)\cdot 2x$
2. 下限：$-\cos (x)\cdot 1$
3. 相加 结论：$\boxed{{\displaystyle 2x\cos (x^2)-\cos x}}$

例 4（被积函数含 $x$）

求 ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_0^{x}xtdt$。

题型定位：变限积分 → 提出 $x$识别特征：被积函数含 $x$手把手步骤：

1. 先提出：$x{\int }_0^{x}tdt$
2. 用乘法法则：$x\cdot x+{\int }_0^{x}tdt\cdot 1$
3. $=x^2+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2}}$

例 5（求导后求值）

设 $F(x)={\int }_0^x{\displaystyle \frac{\sin t}{t}}dt$，求 $F^{″}(0)$。

题型定位：变限积分 → 二阶导 识别特征：求高阶导数值 手把手步骤：

1. $F^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$
2. $F^{″}(x)$：洛必达或泰勒，${\displaystyle \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}$
3. $x\to 0$：$F^{″}(0)=lim{\displaystyle \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}$，泰勒 $\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$，$\cos x=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$
4. 分子 $=x(1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})-(x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}})=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}$，除以 $x^2$ 得 $-{\displaystyle \frac{x}{3}}\to 0$结论：$\boxed{{\displaystyle F^{″}(0)=0}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_a^{x}f(t)dt=$（ ） A. $f(a)$ B. $f(x)$ C. $f^{\prime }(x)$ D. 0

2. ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_0^{x^2}f(t)dt=$（ ） A. $f(x^2)$ B. $2xf(x^2)$ C. $f(2x)$ D. $x^{2}f(x)$

填空题

3. ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt=$ ______。

4. 下限是函数时，贡献项带 ______（正/负）号。

解答题

5. 求 ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_{\sin x}^{\cos x}{t}^{2}dt$。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：$e^{x^2}$4. 答案：负5. 答案：${\cos }^{2}x(-\sin x)-{\sin }^{2}x(\cos x)$（${\cos }^{2}x\cdot (-\sin x)-{\sin }^{2}x\cdot \cos x=-{\cos }^{2}x\sin x-{\sin }^{2}x\cos x$）