3.12 反常积分（广义积分）（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：积分区间无穷大，或函数在某点爆炸

反常积分就是积分区间无穷大（${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}$），或者被积函数在某点无界（瑕积分）。

处理方式：把"坏点"替换成变量，取极限。

两种反常积分

类型	特点	例子
无穷限	积分限是 $\pm \mathrm{\infty }$	${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx$
瑕积分	函数在某点无界	${\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx$

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二、考点全爆破

无穷限反常积分

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{t}f(x)dx$$

瑕积分（函数在 $x=a$ 附近无界）

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)dx$$

收敛/发散判断

重要结论（必背）：

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& p>1\\ \text{发散},& p\le 1\end{array}$$

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三、核心难点：${\displaystyle \frac{1}{x^p}}$ 的收敛性

套路：看 $p$ 的值

示例：判断 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx$ 收敛吗？

$p=2>1$，收敛。 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx=[-{\displaystyle \frac{1}{x}}{]}_1^{+\mathrm{\infty }}=0-(-1)=1$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x}}dx$ 说收敛

$p=1$ 时发散！$\ln x\to \mathrm{\infty }$，结果是 $+\mathrm{\infty }$。$p\le 1$ 发散。

坑 2：反常积分直接代限

反常积分必须写极限，不能直接代入 $\mathrm{\infty }$。

坑 3：瑕点没找对

瑕积分要先找"爆炸点"（分母零点、$\ln$ 真数 0 等），在该点取极限。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（收敛的无穷限）

求 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx$。

题型定位：反常积分 → 无穷限 识别特征：上限 $\mathrm{\infty }$手把手步骤：

1. 写极限：$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^t{x}^{-2}dx$
2. $=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}[-{\displaystyle \frac{1}{x}}{]}_1^t$
3. $=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-{\displaystyle \frac{1}{t}}+1)=1$结论：$\boxed{{\displaystyle 1\text{（收敛）}}}$

例 2（发散的无穷限）

判断 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x}}dx$ 的敛散性。

题型定位：反常积分 → 发散判断 识别特征：$p=1$手把手步骤：

1. $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\ln x{]}_1^t$
2. $=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\ln t-0)=+\mathrm{\infty }$结论：$\boxed{{\displaystyle \text{发散}}}$

例 3（瑕积分）

求 ${\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx$。

题型定位：反常积分 → 瑕积分 识别特征：$x=0$ 处无界 手把手步骤：

1. 瑕点 $x=0$：$\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}{\int }_{ϵ}^1{x}^{-1/2}dx$
2. $=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}[2\sqrt{x}{]}_{ϵ}^1$
3. $=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}(2-2\sqrt{ϵ})=2$结论：$\boxed{{\displaystyle 2\text{（收敛）}}}$

例 4（指数衰减）

求 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x}dx$。

题型定位：反常积分 → 指数 识别特征：$e^{-x}$ 衰减 手把手步骤：

1. $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^t{e}^{-x}dx$
2. $=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}[-e^{-x}{]}_0^t$
3. $=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-e^{-t}+1)=1$结论：$\boxed{{\displaystyle 1\text{（收敛）}}}$

例 5（${\displaystyle \frac{1}{x^p}}$ 判断）

判断 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx$ 的敛散性。

题型定位：反常积分 → $p$ 判断 识别特征：${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{1}{x^{1/2}}}$手把手步骤：

1. $p={\displaystyle \frac{1}{2}}$
2. $p\le 1$，发散 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{发散}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^3}}dx$（ ） A. 收敛 B. 发散 C. 不确定 D. 等于 $\ln 3$

2. ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x}}dx$（ ） A. 收敛于 1 B. 收敛于 0 C. 发散 D. 等于 $\ln 2$

填空题

3. ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^p}}dx$ 在 $p$ ______ 时收敛。

4. ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-2x}dx=$ ______。

解答题

5. 求 ${\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx$ 的敛散性。

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答案与详细解析

1. 答案：A（$p=3>1$） 2. 答案：C3. 答案：$>1$4. 答案：${\displaystyle \frac{1}{2}}$（$lim[-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x}{]}_0^t={\displaystyle \frac{1}{2}}$） 5. 答案：发散（$\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}[-{\displaystyle \frac{1}{x}}{]}_{ϵ}^1=lim(-{\displaystyle \frac{1}{ϵ}}+1)\to +\mathrm{\infty }$，发散）