3.13 求平面图形的面积（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：上减下，积分

两条曲线围成的面积 = 上减下，再积分：

$$S={\int }_a^b[f_{\text{上}}(x)-f_{\text{下}}(x)]dx$$

好比量一块夹心蛋糕的截面：上表面减去下表面，就是中间夹层的厚度，积起来就是面积。

步骤口诀

画图 → 找交点 → 上减下 → 积分

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二、考点全爆破

直角坐标面积公式

$$S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$$

极坐标面积公式

$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta$$

求面积三步走

1. 画图：画出两条曲线
2. 找交点：联立方程解出交点（确定积分限 $a,b$）
3. 上减下积分：确定谁在上谁在下，积分

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三、核心难点：谁在上谁在下

套路：取区间中点测试

示例：求 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成的面积。

交点：$x^2=x$，$x=0$ 或 $x=1$。 中点测试：$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$，$y=x={\displaystyle \frac{1}{2}}$，$y=x^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$，所以 $x$ 在上。 $S={\int }_0^1(x-x^2)dx={\displaystyle \frac{1}{6}}$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：忘了找交点

积分限来自交点，不找交点积分限就错。

坑 2：上下搞反

$S=\int$（上减下），上减下错了就得到负面积。

坑 3：分段面积

若两条曲线在区间内交叉（谁上谁下变化），要分段积分。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（抛物线与直线）

求 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成的面积。

题型定位：面积 → 直角坐标 识别特征：抛物线和直线 手把手步骤：

1. 交点：$x^2=x$，$x=0,1$
2. 上减下：$x-x^2$（$x\in (0,1)$ 时 $x>x^2$）
3. ${\int }_0^1(x-x^2)dx=[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}{]}_0^1$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{6}}}}$

例 2（两条抛物线）

求 $y=x^2$ 与 $y=2-x^2$ 围成的面积。

题型定位：面积 → 两条曲线 识别特征：两条抛物线开口相反 手把手步骤：

1. 交点：$x^2=2-x^2$，$2x^2=2$，$x=\pm 1$
2. 上减下：$(2-x^2)-x^2=2-2x^2$
3. ${\int }_{-1}^1(2-2x^2)dx=2{\int }_0^1(2-2x^2)dx$（偶函数）
4. $=2[2x-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3{]}_0^1=2\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{8}{3}}}}$

例 3（曲线与 $x$ 轴）

求 $y=x^2$ 与 $x$ 轴、$x=1$ 围成的面积。

题型定位：面积 → 与轴围成 识别特征：单曲线+轴 手把手步骤：

1. 区间 $[0,1]$，上：$x^2$，下：$0$
2. ${\int }_0^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

例 4（分段面积）

求 $y=|x-1|$ 与 $x$ 轴在 $[0,2]$ 上围成的面积。

题型定位：面积 → 分段 识别特征：绝对值 手把手步骤：

1. $|x-1|=\{\begin{array}{ll}1-x,& x<1\\ x-1,& x\ge 1\end{array}$
2. $S={\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^2(x-1)dx$
3. $={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=1$结论：$\boxed{{\displaystyle 1}}$

例 5（求参数使面积相等）

设抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=c$ 围成的面积等于 $1$，求 $c$。

题型定位：面积 → 反求参数 识别特征：已知面积求参数 手把手步骤：

1. 交点：$x^2=c$，$x=\pm \sqrt{c}$
2. 面积 $={\int }_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}}(c-x^2)dx=2{\int }_0^{\sqrt{c}}(c-x^2)dx$
3. $=2[cx-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}{]}_0^{\sqrt{c}}=2(c\sqrt{c}-{\displaystyle \frac{c\sqrt{c}}{3}})={\displaystyle \frac{4}{3}}c\sqrt{c}$
4. 令 $={\displaystyle \frac{4}{3}}{c}^{3/2}=1$，$c^{3/2}={\displaystyle \frac{3}{4}}$，$c=({\displaystyle \frac{3}{4}}{)}^{2/3}$结论：$\boxed{{\displaystyle c=({\displaystyle \frac{3}{4}}{)}^{2/3}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 求面积的公式是（ ） A. $\int (f+g)dx$ B. $\int (f-g)dx$ C. $\int fgdx$ D. $\int f/gdx$

2. 积分限来自（ ） A. 函数值 B. 交点 C. 极值点 D. 驻点

填空题

3. 求面积第一步是 ______。

4. 极坐标面积公式 $S=$ ______。

解答题

5. 求 $y=\sqrt{x}$ 与 $y=x$ 围成的面积。

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答案与详细解析

1. 答案：B（上减下） 2. 答案：B3. 答案：画图4. 答案：${\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^{2}d\theta$5. 答案：${\displaystyle \frac{1}{3}}$（交点 $x=0,1$，$\sqrt{x}\ge x$，${\int }_0^1(\sqrt{x}-x)dx={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$…更正：${\int }_0^1(x^{1/2}-x)dx=[{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^{3/2}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}{]}_0^1={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$）