3.14 求旋转体的体积（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：曲线绕轴转一圈，扫出来的体积

曲线绕 $x$ 轴旋转，体积 = $\pi \int$（半径）${}^{2}dx$。

好比：把曲线下的面积当"面片"，绕 $x$ 轴转一圈，扫出来的就是体积（像陶轮转出来的陶罐）。

为什么有 $\pi$？

每一薄片是圆盘，体积 $\pi r^{2}dx$（$r=f(x)$），全部加起来（积分）就是 $\pi \int [f(x){]}^{2}dx$。

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二、考点全爆破

绕 $x$ 轴旋转

$$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$$

绕 $y$ 轴旋转

$$V=\pi {\int }_c^d[\phi (y){]}^{2}dy$$

求体积三步走

1. 确定旋转轴：绕 $x$ 轴还是 $y$ 轴
2. 确定半径：$f(x)$ 或 $\phi (y)$
3. 积分：$\pi \int (\text{半径}{)}^{2}d(\text{变量})$

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三、核心难点：绕 $y$ 轴旋转要反解

套路：绕 $y$ 轴先把 $x$ 解出来

示例：$y=\sqrt{x}$ 在 $[0,4]$ 绕 $y$ 轴旋转。

反解：$x=y^2$（$y\in [0,2]$）。 $V=\pi {\int }_0^2(y^2{)}^{2}dy=\pi {\int }_0^2{y}^{4}dy=\pi [{\displaystyle \frac{y^5}{5}}{]}_0^2={\displaystyle \frac{32\pi }{5}}$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：忘乘 $\pi$

$V=\pi \int [f(x){]}^{2}dx$，$\pi$ 不能丢！

坑 2：绕 $y$ 轴时没反解

绕 $y$ 轴旋转时，被积函数要是 $x=\phi (y)$（关于 $y$），先反解再积分。

坑 3：半径写错

半径是 $f(x)$，不是 $f^{\prime }(x)$，也不是 $f^2(x)$ 之外的任何东西——是 $[f(x){]}^2$。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（绕 $x$ 轴基础）

求 $y=\sqrt{x}$ 在 $[0,4]$ 上绕 $x$ 轴的旋转体体积。

题型定位：体积 → 绕 $x$ 轴 识别特征：明确绕 $x$ 轴 手把手步骤：

1. 半径 $=\sqrt{x}$
2. $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx$
3. $=\pi [{\displaystyle \frac{x^2}{2}}{]}_0^4=8\pi$结论：$\boxed{{\displaystyle 8\pi }}$

例 2（绕 $y$ 轴）

求 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 绕 $y$ 轴的旋转体体积。

题型定位：体积 → 绕 $y$ 轴 识别特征：绕 $y$ 轴 手把手步骤：

1. 反解：$x=\sqrt{y}$，$y\in [0,1]$
2. $V=\pi {\int }_0^1(\sqrt{y}{)}^{2}dy=\pi {\int }_0^{1}ydy$
3. $=\pi [{\displaystyle \frac{y^2}{2}}{]}_0^1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}$

例 3（圆锥体）

求直线 $y=x$ 在 $[0,1]$ 绕 $x$ 轴的旋转体体积。

题型定位：体积 → 圆锥 识别特征：直线绕轴 手把手步骤：

1. 半径 $=x$
2. $V=\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\pi [{\displaystyle \frac{x^3}{3}}{]}_0^1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
3. 圆锥公式验证：${\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi (1{)}^2(1)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ✅ 结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}}$

例 4（两曲线围成绕轴）

求 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成区域绕 $x$ 轴旋转的体积。

题型定位：体积 → 两曲线围成 识别特征：围成区域绕轴 手把手步骤：

1. 交点：$x=0,1$，$x$ 在上
2. $V=\pi {\int }_0^1(x^2-x^4)dx$（外半径 $x$，内半径 $x^2$）
3. $=\pi [{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^5}{5}}{]}_0^1=\pi ({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}})={\displaystyle \frac{2\pi }{15}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2\pi }{15}}}}$

例 5（指数曲线）

求 $y=e^x$ 在 $[0,1]$ 绕 $x$ 轴的旋转体体积。

题型定位：体积 → 指数 识别特征：指数函数 手把手步骤：

1. 半径 $=e^x$
2. $V=\pi {\int }_0^1(e^x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx$
3. $=\pi [{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}{]}_0^1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(e^2-1)$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{2}}(e^2-1)}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 绕 $x$ 轴体积公式（ ） A. $\pi \int f(x)dx$ B. $\pi \int [f(x){]}^{2}dx$ C. $\int [f(x){]}^{2}dx$ D. $\pi \int f^{\prime }(x)dx$

2. 绕 $y$ 轴旋转时被积函数写成（ ） A. $y=f(x)$ B. $x=\phi (y)$ C. $y=f^{\prime }(x)$ D. $x=f^{\prime }(y)$

填空题

3. $y=x$ 在 $[0,1]$ 绕 $x$ 轴体积 $V=$ ______。

4. 体积公式中的 $\pi$ 能省略吗？______。

解答题

5. 求 $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ 在 $[1,2]$ 绕 $x$ 轴的旋转体体积。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$4. 答案：不能5. 答案：${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$（$V=\pi {\int }_1^2{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx=\pi [-{\displaystyle \frac{1}{x}}{]}_1^2=\pi (-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$）