3.3 第一类换元法（凑微分法）（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：看穿复合函数

凑微分就是看穿复合函数——如果被积函数是 $f[\phi (x)]\cdot {\phi }^{\prime }(x)$ 的形式，就令 $u=\phi (x)$，把 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 看成 $du$，积分就简化了。

好比：你看到"复合函数的导数"的痕迹（${\phi }^{\prime }(x)dx$），就把它藏进 $d$ 里变成 $du$——这就是"凑"微分。

一句话理解

把 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 塞进 $d$ 的后面：$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=\int f[\phi (x)]d[\phi (x)]$

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二、考点全爆破

核心公式

$$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)dx=\int f(u)du,u=\phi (x)$$

常用凑微分形式（必背！）

原式	凑微分后
$\int f(ax+b)dx$	${\displaystyle \frac{1}{a}}\int f(ax+b)d(ax+b)$
$\int f(x^n)x^{n-1}dx$	${\displaystyle \frac{1}{n}}\int f(x^n)d{x}^n$
$\int f(\sin x)\cos xdx$	$\int f(\sin x)d(\sin x)$
$\int f(\ln x){\displaystyle \frac{1}{x}}dx$	$\int f(\ln x)d(\ln x)$
$\int f(e^x)e^{x}dx$	$\int f(e^x)d(e^x)$

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三、核心难点：凑微分的"补系数"技巧

套路：凑完 $du$ 别忘了补系数

示例：$\int \cos (2x+1)dx$

令 $u=2x+1$，$du=2dx$，所以 $dx={\displaystyle \frac{1}{2}}du$。 $\int \cos u\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}du={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin u+C={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2x+1)+C$。 关键：$dx={\displaystyle \frac{1}{2}}du$ 的系数 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 不能丢！

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：补系数错误

$\int \cos (2x)dx$ 结果是 ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2x$，不是 $\sin 2x$。因为 $d(2x)=2dx$，要补 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$。

坑 2：积分变量不统一

凑微分后，所有 $x$ 都必须换成 $u$，不能 $x$ 和 $u$ 混着出现。

坑 3：看不出复合结构

看到 $\int e^{x^2}\cdot 2xdx$ 要认出 $2x$ 是 $x^2$ 的导数——$d(x^2)=2xdx$。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（一次函数复合）

求 $\int \cos (2x+1)dx$。

题型定位：凑微分 → 一次函数 识别特征：内层是 $ax+b$手把手步骤：

1. 令 $u=2x+1$，$du=2dx$，$dx={\displaystyle \frac{1}{2}}du$
2. $\int \cos u\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}du={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin u$
3. 回代 结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2x+1)+C}}$

例 2（${\displaystyle \frac{1}{x}}$ 型）

求 $\int {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}dx$。

题型定位：凑微分 → 对数 识别特征：${\displaystyle \frac{1}{x}}$ 是 $\ln x$ 的导数 手把手步骤：

1. 令 $u=\ln x$，$du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$
2. $\int udu={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}^2$
3. 回代 结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}(\ln x{)}^2+C}}$

例 3（$\cos x$ 型）

求 $\int \sin x\cos xdx$。

题型定位：凑微分 → 三角 识别特征：$\cos x$ 是 $\sin x$ 的导数 手把手步骤：

1. 令 $u=\sin x$，$du=\cos xdx$
2. $\int udu={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}^2$
3. 回代 结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}x+C}}$

例 4（指数型）

求 $\int x{e}^{x^2}dx$。

题型定位：凑微分 → 指数 识别特征：$x$ 是 $x^2$ 的导数的一半 手把手步骤：

1. $d(x^2)=2xdx$，所以 $xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}d(x^2)$
2. ${\displaystyle \frac{1}{2}}\int e^{x^2}d(x^2)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{x^2}$
3. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{x^2}+C}}$

例 5（${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ 型）

求 $\int {\displaystyle \frac{\arctan x}{1+x^2}}dx$。

题型定位：凑微分 → 反三角 识别特征：${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ 是 $\arctan x$ 的导数 手把手步骤：

1. 令 $u=\arctan x$，$du={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx$
2. $\int udu={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}^2$
3. 回代 结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}(\arctan x{)}^2+C}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $\int e^{2x}dx=$（ ） A. $e^{2x}+C$ B. ${\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}+C$ C. $2e^{2x}+C$ D. $\ln x+C$

2. 凑微分的核心是把 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 看成（ ） A. $dx$ B. $du$ C. $dy$ D. $dt$

填空题

3. $\int (2x+1{)}^{3}dx=$ ______。

4. $\int {\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}}dx=$ ______。

解答题

5. 求 $\int {\displaystyle \frac{e^x}{1+e^x}}dx$。

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答案与详细解析

1. 答案：B（$d(2x)=2dx$，补 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$） 2. 答案：B3. 答案：${\displaystyle \frac{1}{8}}(2x+1{)}^4+C$（令 $u=2x+1$，${\displaystyle \frac{1}{2}}\int u^{3}du={\displaystyle \frac{1}{8}}{u}^4$） 4. 答案：$\ln |1+\sin x|+C$（$d(1+\sin x)=\cos xdx$） 5. 答案：$\ln (1+e^x)+C$（$d(1+e^x)=e^{x}dx$）