3.4 第二类换元法之根式代换（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：把根号"扔掉"

遇到根号 $\sqrt[n]{ax+b}$ 很烦人，干脆令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$，把根号去掉，变成有理函数再积分。

好比：你穿着雨衣（根号）不好行动，先脱掉雨衣（去根号），等办完事（积分完）再穿回去（回代）。

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二、考点全爆破

根式代换核心

被积函数含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时，令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$，则：

$$x=\frac{t^n-b}{a},dx=\frac{n}{a}{t}^{n-1}dt$$

常见类型

根式	代换	目标
$\sqrt{ax+b}$	$t=\sqrt{ax+b}$	去根号
$\sqrt[n]{ax+b}$	$t=\sqrt[n]{ax+b}$	去根号
$\sqrt{{\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}}$	$t=\sqrt{{\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}}$	有理化

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三、核心难点：代换后"三件事"

套路：代换必须做三件事

1. 换被积函数：所有 $x$ 换成 $t$ 的表达式
2. 换 $dx$：$dx={\displaystyle \frac{n}{a}}{t}^{n-1}dt$
3. 换积分限（定积分时）：$x$ 的上下限换成 $t$ 的上下限

示例：$\int {\displaystyle \frac{dx}{1+\sqrt{x}}}$

令 $t=\sqrt{x}$，$x=t^2$，$dx=2tdt$。 $\int {\displaystyle \frac{2t}{1+t}}dt=2\int (1-{\displaystyle \frac{1}{1+t}})dt=2t-2\ln |1+t|+C$ 回代：$2\sqrt{x}-2\ln (1+\sqrt{x})+C$

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：忘了换 $dx$

代换后 $dx$ 也要换！$x=t^2$ 时 $dx=2tdt$，不是 $dx=dt$。

坑 2：忘了回代

积分完成后必须把 $t$ 换回 $x$，答案里不能有 $t$。

坑 3：定积分忘了换限

定积分换元时，积分限必须跟着换，否则全错。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（基本根式代换）

求 $\int {\displaystyle \frac{dx}{1+\sqrt{x}}}$。

题型定位：第二类换元 → 根式 识别特征：含 $\sqrt{x}$手把手步骤：

1. 令 $t=\sqrt{x}$，$x=t^2$，$dx=2tdt$
2. $\int {\displaystyle \frac{2t}{1+t}}dt=2\int (1-{\displaystyle \frac{1}{1+t}})dt$
3. $=2t-2\ln |1+t|$
4. 回代 结论：$\boxed{{\displaystyle 2\sqrt{x}-2\ln (1+\sqrt{x})+C}}$

例 2（$\sqrt[3]{x}$ 型）

求 $\int {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt[3]{x}+1}}$。

题型定位：第二类换元 → 三次根 识别特征：含 $\sqrt[3]{x}$手把手步骤：

1. 令 $t=\sqrt[3]{x}$，$x=t^3$，$dx=3t^{2}dt$
2. $\int {\displaystyle \frac{3t^2}{t+1}}dt=3\int (t-1+{\displaystyle \frac{1}{t+1}})dt$
3. $=3({\displaystyle \frac{t^2}{2}}-t+\ln |t+1|)$
4. 回代 结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^{2/3}-3x^{1/3}+3\ln (1+\sqrt[3]{x})+C}}$

例 3（$\sqrt{x+1}$ 型）

求 $\int x\sqrt{x+1}dx$。

题型定位：第二类换元 → 一次根式 识别特征：$\sqrt{x+1}$手把手步骤：

1. 令 $t=\sqrt{x+1}$，$x=t^2-1$，$dx=2tdt$
2. $\int (t^2-1)t\cdot 2tdt=2\int (t^4-t^2)dt$
3. $=2({\displaystyle \frac{t^5}{5}}-{\displaystyle \frac{t^3}{3}})$
4. 回代 结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{5}}(x+1{)}^{5/2}-{\displaystyle \frac{2}{3}}(x+1{)}^{3/2}+C}}$

例 4（定积分换元）

求 ${\int }_0^4{\displaystyle \frac{dx}{1+\sqrt{x}}}$。

题型定位：第二类换元 → 定积分 识别特征：定积分+根式 手把手步骤：

1. 令 $t=\sqrt{x}$，$dx=2tdt$；$x=0\to t=0$，$x=4\to t=2$
2. ${\int }_0^2{\displaystyle \frac{2t}{1+t}}dt=2[t-\ln (1+t){]}_0^2$
3. $=2(2-\ln 3-0)=4-2\ln 3$结论：$\boxed{{\displaystyle 4-2\ln 3}}$避坑反思：定积分换元必须换限，$x=4$ 时 $t=\sqrt{4}=2$。

例 5（$\sqrt[4]{x}$ 型）

求 $\int {\displaystyle \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt[4]{x}}}dx$。

题型定位：第二类换元 → 四次根 识别特征：含 $\sqrt[4]{x}$手把手步骤：

1. 令 $t=\sqrt[4]{x}$，$x=t^4$，$dx=4t^{3}dt$
2. $\int {\displaystyle \frac{t}{1+t}}\cdot 4t^{3}dt=4\int {\displaystyle \frac{t^4}{1+t}}dt$
3. 多项式除法：$=4\int (t^3-t^2+t-1+{\displaystyle \frac{1}{1+t}})dt$
4. 逐项积分+回代 结论：$\boxed{{\displaystyle x^{3/4}-{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^{3/4}\text{（展开整理）}+4\ln |1+\sqrt[4]{x}|+C}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 含 $\sqrt{x}$ 时令 $t=$（ ） A. $x$ B. $\sqrt{x}$ C. $x^2$ D. $1/x$

2. $x=t^2$ 时 $dx=$（ ） A. $dt$ B. $2tdt$ C. $2dt$ D. $tdt$

填空题

3. 含 $\sqrt[3]{x}$ 时令 $x=$ ______。

4. 定积分换元后积分限 ______（换/不换）。

解答题

5. 求 $\int {\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx$。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：$t^3$4. 答案：换5. 答案：$x-2\sqrt{x}+2\ln (1+\sqrt{x})+C$
解析：令 $t=\sqrt{x}$，$dx=2tdt$，$\int {\displaystyle \frac{t^2}{1+t}}dt=2\int (t-1+{\displaystyle \frac{1}{1+t}})dt=2({\displaystyle \frac{t^2}{2}}-t+\ln |1+t|)+C$，回代。