3.5 第二类换元法之三角代换（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：用三角函数化解三种根式

遇到 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 这三种根式，用三角函数代换把根号去掉。

为什么三角函数能去根号？

因为 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$：

• $\sqrt{a^2-x^2}$：令 $x=a\sin t$ → $\sqrt{a^2-a^2{\sin }^{2}t}=a\cos t$（根号消失！）

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二、考点全爆破

三角代换对照表（必背！）

根式形式	代换	化简结果	$dx$
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$a\cos t$	$a\cos tdt$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t$	$a\sec t$	$a{\sec }^{2}tdt$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$	$a\tan t$	$a\sec t\tan tdt$

回代技巧：直角三角形辅助

代换后回代时，画一个直角三角形，用 $t$ 的三角关系找出 $x$ 的表达式。

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三、核心难点：回代时的"直角三角形法"

套路：画直角三角形

示例：$\int {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}}$

令 $x=2\sin t$，$dx=2\cos tdt$，$\sqrt{4-x^2}=2\cos t$。 $\int {\displaystyle \frac{2\cos t}{2\cos t}}dt=\int dt=t+C$。 回代：$t=\arcsin {\displaystyle \frac{x}{2}}$，结果 $\arcsin {\displaystyle \frac{x}{2}}+C$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：三种代换记混

$\sqrt{a^2-x^2}$ 用 $\sin$，$\sqrt{a^2+x^2}$ 用 $\tan$，$\sqrt{x^2-a^2}$ 用 $\sec$。别搞混！

坑 2：忘换 $dx$

$x=a\sin t$ 时 $dx=a\cos tdt$，$dx$ 也要换。

坑 3：回代不会

积分结果含 $t$，必须用 $t$ 和 $x$ 的关系回代成 $x$ 的表达式。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（$\sqrt{a^2-x^2}$ 型）

求 $\int {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$。

题型定位：三角代换 → $\sin$ 型 识别特征：$\sqrt{1-x^2}$（$a=1$） 手把手步骤：

1. 令 $x=\sin t$，$dx=\cos tdt$，$\sqrt{1-x^2}=\cos t$
2. $\int {\displaystyle \frac{\cos t}{\cos t}}dt=t$
3. 回代：$t=\arcsin x$结论：$\boxed{{\displaystyle \arcsin x+C}}$

例 2（$\sqrt{x^2+a^2}$ 型）

求 $\int {\displaystyle \frac{dx}{1+x^2}}$。

题型定位：三角代换 → 反正切 识别特征：$1+x^2$ 分母 手把手步骤：

1. 这是基本公式：$\int {\displaystyle \frac{dx}{1+x^2}}=\arctan x$结论：$\boxed{{\displaystyle \arctan x+C}}$避坑反思：能直接套公式的不要过度代换。

例 3（$\sqrt{a^2-x^2}$ 面积型）

求 ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$。

题型定位：三角代换 → 定积分 识别特征：单位圆面积 手把手步骤：

1. 几何意义：${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$ = 第一象限四分之一圆面积 $={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}$避坑反思：$\sqrt{1-x^2}$ 是上半圆，$0$ 到 $1$ 是四分之一圆。

例 4（$\sqrt{x^2-a^2}$ 型）

求 $\int {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}}$。

题型定位：三角代换 → $\sec$ 型 识别特征：$\sqrt{x^2-1}$（$a=1$） 手把手步骤：

1. 令 $x=\sec t$，$dx=\sec t\tan tdt$，$\sqrt{x^2-1}=\tan t$
2. $\int {\displaystyle \frac{\sec t\tan t}{\tan t}}dt=\int \sec tdt$
3. $=\ln |\sec t+\tan t|$
4. 回代：$\ln |x+\sqrt{x^2-1}|$结论：$\boxed{{\displaystyle \ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C}}$

例 5（$a=2$ 型）

求 $\int {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}}$。

题型定位：三角代换 → $\sin$ 型 识别特征：$\sqrt{4-x^2}$（$a=2$） 手把手步骤：

1. 令 $x=2\sin t$，$dx=2\cos tdt$，$\sqrt{4-x^2}=2\cos t$
2. $\int dt=t$
3. 回代：$t=\arcsin {\displaystyle \frac{x}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle \arcsin {\displaystyle \frac{x}{2}}+C}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $\sqrt{a^2-x^2}$ 用什么代换？（ ） A. $x=a\tan t$ B. $x=a\sin t$ C. $x=a\sec t$ D. $x=t$

2. $x=a\sin t$ 时 $dx=$（ ） A. $a\cos tdt$ B. $a{\sec }^{2}tdt$ C. $a\sec t\tan tdt$ D. $dt$

填空题

3. $\sqrt{a^2+x^2}$ 化简为 ______。

4. $\int {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}=$ ______。

解答题

5. 求 $\int {\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}}$。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：A3. 答案：$a\sec t$4. 答案：$\arcsin x+C$5. 答案：$\arcsin {\displaystyle \frac{x}{3}}+C$（令 $x=3\sin t$，结果 $\arcsin {\displaystyle \frac{x}{3}}+C$）