3.6 分部积分法（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：乘积积分靠"转移"

当两个函数乘在一起不好积分时，用分部积分法：$\int udv=uv-\int vdu$。

好比"踢皮球"：把难踢的球（$\int udv$）踢给好踢的（$\int vdu$），关键是把 $u$ 和 $dv$ 选对。

选 $u$ 的顺序（核心口诀）

反对幂指三——从左到右选为 $u$：

• 反三角函数（如 $\arctan x$）
• 对数函数（如 $\ln x$）
• 幂函数（如 $x^n$）
• 指数函数（如 $e^x$）
• 三角函数（如 $\sin x$）

剩下的当 $dv$。

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二、考点全爆破

公式

$$\int udv=uv-\int vdu$$

选 $u$ 规则（反对幂指三）

优先级	函数类型	例子
1	反三角	$\arctan x,\arcsin x$
2	对数	$\ln x,{\log }_{a}x$
3	幂	$x,x^2$
4	指数	$e^x,a^x$
5	三角	$\sin x,\cos x$

常见组合

组合	选 $u$	技巧
$x^n{e}^x$	$x^n$	降次
$x^n\ln x$	$\ln x$	消对数
$e^x\sin x$	任意	循环积分
$x^n\sin x$	$x^n$	降次

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三、核心难点：循环分部积分（$e^x\sin x$ 型）

套路：两次分部后解方程

示例：$\int e^x\sin xdx$

第一次分部：令 $u=e^x$（或 $\sin x$），$dv=\sin xdx$。 算两次分部后，原积分会再次出现，移项解方程。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：$u$ 选错

$\int x\ln xdx$ 若选 $u=x$（幂），会越来越复杂。必须选 $u=\ln x$（对数优先级高）。

坑 2：循环型不会处理

$\int e^x\sin xdx$ 出现循环后，移项解方程，不是放弃。

坑 3：忘记 $\int vdu$ 也要算

分部后 $\int vdu$ 要继续积分，不能只写 $uv$。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（$x^n{e}^x$ 型）

求 $\int x{e}^{x}dx$。

题型定位：分部积分 → 幂乘指数 识别特征：$x\cdot e^x$，幂优先级高 手把手步骤：

1. 选 $u=x$，$dv=e^{x}dx$：$du=dx$，$v=e^x$
2. $\int udv=uv-\int vdu=x{e}^x-\int e^{x}dx$
3. $=x{e}^x-e^x$
4. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle x{e}^x-e^x+C}}$

例 2（$x^n\ln x$ 型）

求 $\int x\ln xdx$。

题型定位：分部积分 → 幂乘对数 识别特征：含 $\ln x$，选 $u=\ln x$手把手步骤：

1. 选 $u=\ln x$，$dv=xdx$：$du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$，$v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$
2. ${\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-\int {\displaystyle \frac{x^2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx$
3. $={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$
4. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+C}}$

例 3（$x^n\sin x$ 型）

求 $\int x\sin xdx$。

题型定位：分部积分 → 幂乘三角 识别特征：$x\cdot \sin x$手把手步骤：

1. 选 $u=x$，$dv=\sin xdx$：$du=dx$，$v=-\cos x$
2. $-x\cos x-\int (-\cos x)dx$
3. $=-x\cos x+\sin x$
4. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle -x\cos x+\sin x+C}}$

例 4（对数单独）

求 $\int \ln xdx$。

题型定位：分部积分 → 纯对数 识别特征：只有 $\ln x$，看成 $1\cdot \ln x$手把手步骤：

1. 选 $u=\ln x$，$dv=1\cdot dx$：$du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$，$v=x$
2. $x\ln x-\int x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx$
3. $=x\ln x-x$
4. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle x\ln x-x+C}}$

例 5（循环型）

求 $\int e^x\sin xdx$。

题型定位：分部积分 → 循环 识别特征：$e^x\sin x$，两次分部循环 手把手步骤：

1. 第一次：$u=e^x$，$dv=\sin xdx$：$I=e^x(-\cos x)+\int e^x\cos xdx$
2. 第二次：$u=e^x$，$dv=\cos xdx$：$\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-\int e^x\sin xdx$
3. 代入：$I=-e^x\cos x+e^x\sin x-I$
4. 移项：$2I=e^x(\sin x-\cos x)$结论：$\boxed{{\displaystyle I={\displaystyle \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}}+C}}$避坑反思：循环型最后移项解方程，别忘记除以 2。

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. $\int x\ln xdx$ 中应选 $u=$（ ） A. $x$ B. $\ln x$ C. $e^x$ D. $\sin x$

2. 分部积分公式是（ ） A. $\int udv=uv+\int vdu$ B. $\int udv=uv-\int vdu$ C. $\int uvdx=uv$ D. $\int udv={\displaystyle \frac{uv}{2}}$

填空题

3. 选 $u$ 的口诀是 ______。

4. $\int e^{x}dx=$ ______。

解答题

5. 求 $\int x^2\ln xdx$。

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答案与详细解析

1. 答案：B（对数优先级高） 2. 答案：B3. 答案：反对幂指三4. 答案：$e^x+C$5. 答案：${\displaystyle \frac{x^3}{3}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^3}{9}}+C$（$u=\ln x$，$dv=x^{2}dx$，$v={\displaystyle \frac{x^3}{3}}$）