3.7 曲率（专升本全勤版）

本笔记对应同济八版教材 3-7 节。

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一、大白话通俗讲解（先搞清楚"曲率"到底在说啥）

本质：曲率就是"弯的程度"

一句话记住：曲率 $k$ 就是描述曲线弯曲得有多厉害的数值。

• 直线：笔直不弯，曲率 $k=0$。
• 圆：处处弯得一样均匀，曲率 $k={\displaystyle \frac{1}{r}}$（$r$ 是半径）。
• 一般曲线：不同地方弯的程度不一样，比如抛物线在顶点最"弯"，越往两边越"直"。

直觉：半径越小的圆，转得越急，弯得越厉害，曲率就越大（$k=1/r$ 越大）；半径越大的圆越"平缓"，曲率越小。

弧微分：把"微小的弧长"量出来

研究弯曲程度，先要知道曲线上一小段有多长。设 $y=f(x)$ 上一小段弧长为 $ds$，它满足勾股定理：

$$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$$

提取 $dx$（约定 $dx>0$），就得到弧微分公式：

$$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

几何直观：把微小的弧段 $ds$ 近似看成直角三角形斜边，直角边分别是 $dx$ 和 $dy$，勾股定理一出，公式就有了。

为什么要学它

曲率是"导数之后又来一阶导数"——本质还是求导，只是公式比前面复杂一点。会套公式，这节就是送分题。

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二、考点全爆破（公式 + 套路，直接背）

考点 1：弧微分公式

$$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

记忆：$ds$ 前面永远挂着 $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$，再乘一个 $dx$。

考点 2：曲率公式（直角坐标）

$$k=\frac{|y^{″}|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$

记忆：分子是一阶导数的导数（二阶导）加绝对值，分母是 $(1+y^{\prime 2})$ 的 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ 次方。 注意！分子必须加绝对值 $|y^{″}|$，因为曲率 $k$ 是非负的。

考点 3：曲率半径

$$R=\frac{1}{k}=\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}{|y^{″}|}$$

记忆：曲率半径 $R$ 就是曲率的倒数，单位是长度。直线 $k=0$，所以直线 $R\to \mathrm{\infty }$（可以理解成"半径无穷大的圆"）。

考点 4：曲率公式（参数方程形式）

设曲线 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$，则

$$k=\frac{|x^{\prime }{y}^{″}-y^{\prime }{x}^{″}|}{(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$

记忆：分子是交叉相乘相减（$x^{\prime }$ 乘 $y^{″}$ 减 $y^{\prime }$ 乘 $x^{″}$）再取绝对值，分母是 $(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})$ 的 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ 次方。

做题四步套路

1. 求一阶导 $y^{\prime }$
2. 求二阶导 $y^{″}$
3. 代入曲率公式求 $k$（先算 $1+y^{\prime 2}$ 再开 $3/2$ 次方，别跳步）
4. 要半径就取倒数 $R=1/k$

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三、例题精讲（4 道手把手）

例 1（抛物线在顶点处的曲率半径）

求抛物线 $y=x^2$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率与曲率半径。

题型定位：曲率半径 → 直角坐标公式 识别特征：给具体点的抛物线 手把手步骤：

1. $y^{\prime }=2x$，$y^{″}=2$
2. 在 $x=0$ 处：$y^{\prime }(0)=0$，$y^{″}(0)=2$
3. 代入：$k={\displaystyle \frac{|2|}{(1+0^2{)}^{3/2}}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2$
4. 半径：$R={\displaystyle \frac{1}{k}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle k=2,R={\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

检验直觉：抛物线在顶点最"尖"最弯，所以曲率大、半径小，合理。

例 2（抛物线上非顶点的点）

求抛物线 $y=x^2$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率与曲率半径。

题型定位：曲率半径 → 直角坐标公式 识别特征：换了个点，重点看代入过程 手把手步骤：

1. $y^{\prime }=2x$，$y^{″}=2$（不变）
2. 在 $x=1$ 处：$y^{\prime }(1)=2$，$y^{″}(1)=2$
3. 先算分母：$1+y^{\prime 2}=1+4=5$，再算 $5^{3/2}=5\sqrt{5}$
4. 代入：$k={\displaystyle \frac{|2|}{5\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{2}{5\sqrt{5}}}$
5. 半径：$R={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle k={\displaystyle \frac{2}{5\sqrt{5}}},R={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2}}}}$

对比例 1：离顶点越远，$y^{\prime }$ 越大，分母越大，$k$ 越小——越"直"，和直觉一致。

例 3（圆的曲率，验证 $k=1/r$）

求圆 $x^2+y^2=r^2$ 的曲率与曲率半径。

题型定位：曲率 → 隐函数求导 识别特征：方程是圆 手把手步骤：

1. 隐函数求导：$2x+2y{y}^{\prime }=0$，得 $y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{x}{y}}$
2. 再求导：$y^{″}=-{\displaystyle \frac{y-x{y}^{\prime }}{y^2}}$，代入 $y^{\prime }$ 化简得 $y^{″}=-{\displaystyle \frac{r^2}{y^3}}$
3. 代入公式，化简（利用 $x^2+y^2=r^2$）：

$$k=\frac{|y^{″}|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}=\frac{\frac{r^2}{|y{|}^3}}{{(1+\frac{x^2}{y^2})}^{3/2}}=\frac{\frac{r^2}{|y{|}^3}}{\frac{r^3}{|y{|}^3}}=\frac{1}{r}$$

4. 半径：$R={\displaystyle \frac{1}{k}}=r$结论：$\boxed{{\displaystyle k={\displaystyle \frac{1}{r}},R=r}}$

完美的验证：圆上任一点曲率都是常数 ${\displaystyle \frac{1}{r}}$，曲率半径就是圆半径 $r$，和"大白话"部分完全对上。

例 4（参数方程形式）

求椭圆 $\{\begin{array}{l}x=2\cos t\\ y=\sin t\end{array}$ 在点 $(2,0)$（即 $t=0$）处的曲率。

题型定位：曲率 → 参数方程公式 识别特征：曲线用参数方程给出 手把手步骤：

1. $x^{\prime }=-2\sin t$，$y^{\prime }=\cos t$；$x^{″}=-2\cos t$，$y^{″}=-\sin t$
2. 在 $t=0$ 处：$x^{\prime }(0)=0$，$y^{\prime }(0)=1$，$x^{″}(0)=-2$，$y^{″}(0)=0$
3. 代入参数方程公式：

$$k=\frac{|x^{\prime }{y}^{″}-y^{\prime }{x}^{″}|}{(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}=\frac{|0\times 0-1\times (-2)|}{(0+1{)}^{3/2}}=\frac{2}{1}=2$$

4. 半径：$R={\displaystyle \frac{1}{k}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$结论：$\boxed{{\displaystyle k=2,R={\displaystyle \frac{1}{2}}}}$

椭圆在长轴端点最"尖"，所以这里曲率大、半径小，合理。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 4 个坑）

坑 1：分子丢了绝对值 $|y^{″}|$

曲率 $k$ 永远是非负的！$y^{″}$ 可正可负，公式里必须写 $|y^{″}|$。丢了绝对值，$y^{″}<0$ 时答案就错了。

坑 2：分母写成 $(1+y^{\prime 2}{)}^{1/2}$ 或忘算 $y^{\prime 2}$

分母是 $(1+y^{\prime 2})$ 的 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ 次方，不是 $\sqrt{1+y^{\prime 2}}$。注意 $y^{\prime 2}$ 是一阶导的平方，先平方再加 1，别把顺序搞反（例 2 里 $1+2^2=5$ 不是 $1+4$ 之外的任何数）。

坑 3：直线曲率半径想当然写成 $0$

直线 $k=0$，那么 $R={\displaystyle \frac{1}{k}}$ 趋于无穷大，直线的曲率半径是 $\mathrm{\infty }$，不是 $0$。

坑 4：曲率半径 $R$ 不是"直径"也不是"倒数记反"

$R={\displaystyle \frac{1}{k}}$，两者互为倒数：$k$ 大则 $R$ 小（弯得急），$k$ 小则 $R$ 大（弯得缓）。别把"曲率"和"曲率半径"的结论记反。

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五、小结（这一节就三句话 + 公式卡片）

一句话总结：曲率 $k$ 衡量曲线"弯的程度"，是 $y^{\prime }$、$y^{″}$ 组合出来的数；曲率半径 $R$ 是它的倒数，直线曲率为 $0$、半径无穷大，圆的曲率恒为 ${\displaystyle \frac{1}{r}}$。

公式卡片（考前 30 秒扫一眼）：

内容	公式
弧微分	$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
曲率（直角坐标）	$k=\dfrac{
曲率半径	$R=\dfrac1k=\dfrac{(1+y'^2)^{3/2}}{
曲率（参数方程）	$k=\dfrac{

必背结论：直线 $k=0$；圆 $k={\displaystyle \frac{1}{r}}$、$R=r$；$k$ 与 $R$ 互为倒数。

记住：看到"曲率/曲率半径"四个字 = 先求 $y^{\prime }$，再求 $y^{″}$，然后套公式。三步走完，分就到手。