4.3 平面及其方程（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：一个点 + 一个法向量 = 一个平面

平面方程就是确定一个平面在空间中的位置。给一个点 + 法向量就能写出方程。

好比：一个平面就像一张"飞毯"，法向量是"飞毯的朝向"（垂直方向），一个点是"飞毯的位置"——朝向 + 位置唯一确定一张飞毯（平面）。

什么是法向量？

法向量就是垂直于平面的向量，记作 $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$。它决定了平面"朝哪个方向"。

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二、考点全爆破

点法式

过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，法向量 $\overrightarrow{n}=(A,B,C)$：

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

一般式

$$Ax+By+Cz+D=0$$

其中 $(A,B,C)$ 就是法向量。

特殊平面

方程形式	特征
$D=0$	过原点
$C=0$	平行 $z$ 轴
$A=0,B=0$	平行 $xOy$ 平面（$z=D$ 常数）
$z=0$	$xOy$ 平面本身

点到平面距离

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

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三、核心难点：由三个点求平面方程

套路：两点求两个向量 → 叉乘求法向量 → 点法式

示例：求过 $A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$ 的平面方程。

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$。 法向量 $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1,1,1)$。 点法式：$1(x-1)+1(y-0)+1(z-0)=0$，即 $x+y+z=1$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：法向量和平面平行

法向量垂直于平面，不是平行。写一般式时 $(A,B,C)$ 是法向量。

坑 2：叉乘求法向量顺序

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$，顺序反了符号反（但不影响方程本质，只是整体变号）。

坑 3：点到平面距离公式记错

分子带绝对值，分母是 $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（点法式）

求过 $(1,0,0)$ 且法向量为 $(1,2,3)$ 的平面方程。

题型定位：平面 → 点法式 识别特征：给点+法向量 手把手步骤：

1. $1(x-1)+2(y-0)+3(z-0)=0$
2. $x-1+2y+3z=0$结论：$\boxed{{\displaystyle x+2y+3z=1}}$

例 2（由一般式看法向量）

已知平面 $2x-3y+4z-5=0$，求法向量。

题型定位：平面 → 一般式 识别特征：给一般式 手把手步骤：

1. 一般式 $Ax+By+Cz+D=0$
2. 法向量即系数 $(A,B,C)$结论：$\boxed{{\displaystyle (2,-3,4)}}$

例 3（三点求平面）

求过 $A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$ 的平面方程。

题型定位：平面 → 三点 识别特征：给三个点 手把手步骤：

1. $\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$
2. $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1,1,1)$
3. $x+y+z=1$结论：$\boxed{{\displaystyle x+y+z=1}}$

例 4（判断位置关系）

判断平面 $2x+2y+2z=4$ 与 $x+y+z=2$ 的关系。

题型定位：平面 → 位置关系 识别特征：比较两个平面 手把手步骤：

1. 法向量 ${\overrightarrow{n}}_1=(2,2,2)$，${\overrightarrow{n}}_2=(1,1,1)$
2. ${\overrightarrow{n}}_1=2{\overrightarrow{n}}_2$，平行
3. $4=2\times 2$，成比例 → 同一平面 结论：$\boxed{{\displaystyle \text{同一平面}}}$

例 5（点到平面距离）

求点 $(1,2,3)$ 到平面 $x+2y+2z-6=0$ 的距离。

题型定位：平面 → 点面距离 识别特征：求距离 手把手步骤：

1. $d={\displaystyle \frac{|1+4+6-6|}{\sqrt{1+4+4}}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{3}}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 一般式 $Ax+By+Cz+D=0$ 中法向量是（ ） A. $(x,y,z)$ B. $(A,B,C)$ C. $(D,A,B)$ D. $(A,D,C)$

2. 平面 $z=3$ 的特征是（ ） A. 平行 $x$ 轴 B. 平行 $xOy$ 平面 C. 过原点 D. 平行 $z$ 轴

填空题

3. 平面过原点时，一般式中的 $D=$ ______。

4. 点面距离公式分子带 ______（绝对值/括号）。

解答题

5. 求过点 $(0,0,0)$ 且法向量为 $(1,1,1)$ 的平面方程。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：$0$4. 答案：绝对值5. 答案：$x+y+z=0$（点法式直接代入，$1(x-0)+1(y-0)+1(z-0)=0$）