4.4 有理函数的积分（专升本全勤版）

对应教材：同济八版《高等数学》上册 4-4 节

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一、大白话通俗讲解

本质：有理函数 = 多项式除法

有理函数就是"两个多项式相除"：

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

其中 $P(x)$、$Q(x)$ 都是多项式。例如 ${\displaystyle \frac{x^2+1}{x-1}}$、${\displaystyle \frac{2x+3}{x^2+3x+2}}$。

好比分苹果：

• 假分式（分子次数 ≥ 分母次数）——苹果太多，先做除法，分走整块，剩个小的；
• 真分式（分子次数 < 分母次数）——苹果不够分，才需要拆成几小份。

所以解题就三步走：先化假、再拆项、后积分。

第一步：假分式 → 真分式（多项式除法）

分子次数 ≥ 分母次数时，先用长除法（凑除也行），化成"整式 + 真分式"：

$$\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$$

验证：$(x+1)(x-1)+1=x^2-1+1=x^2$，正确！

第二步：真分式 → 部分分式（拆小份）

把分母因式分解，把真分式拆成几个"简单小分式"之和，比如：

$$\frac{2x+3}{x^2+3x+2}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$$

拆好之后，每一项都变成我们背过公式的简单积分，逐个击破。

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二、考点全爆破

部分分式分解方法（三种因式）

先把分母因式分解，然后按因式类型拆：

分母的情况	拆法	例子
一次因式（单根）	${\displaystyle \frac{A}{x-a}}$	${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{x+1}}$
重因式	${\displaystyle \frac{A_1}{x-a}}+{\displaystyle \frac{A_2}{(x-a{)}^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{A_k}{(x-a{)}^k}}$	${\displaystyle \frac{2x+1}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{(x-1{)}^2}}$
二次因式（$\mathrm{\Delta }<0$）	${\displaystyle \frac{Mx+N}{x^2+px+q}}$	${\displaystyle \frac{1}{x^2+2x+5}}$（配方后直接用公式）

待定系数法：设出含 $A,B$ 的拆法 → 通分 → 比较两边系数（或代特殊值）解出 $A,B$。

三大基本公式（必须背）

$$\int \frac{dx}{x-a}=\ln |x-a|+C$$$$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$$$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$

口诀：减号分式出 $\ln$，平方和分式出 $\arctan$；前面系数别漏掉（${\displaystyle \frac{1}{a}}$、${\displaystyle \frac{1}{2a}}$）。

重因式小试牛刀

$$\int \frac{dx}{(x-1{)}^2}=-\frac{1}{x-1}+C$$

（看成 $(x-1{)}^{-2}$ 幂函数积分，不用拆！只有分子还是多项式时才需要拆成 ${\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{(x-1{)}^2}}$。）

可化为有理函数的积分（万能代换简述）

遇到三角有理式 $\int R(\sin x,\cos x)dx$（比如 $\int {\displaystyle \frac{dx}{1+\sin x}}$），用万能代换：

令 $t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$，则

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$

代入后，整个积分变成关于 $t$ 的有理函数积分，再用上面的拆项方法解决。

了解即可：万能代换是"保底大招"，计算量大，能避开就避开（比如用倍角/半角公式化简）。

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三、例题精讲（4 道手把手解析）

例 1（拆项：一次因式单根）

求 $\int {\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}dx$。

题型定位：有理函数 → 拆部分分式 识别特征：真分式，分母可因式分解为两个不同一次因式 手把手步骤：

1. 分母因式分解：$x^2-1=(x-1)(x+1)$
2. 设拆法：${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{x+1}}$，通分得 $1=A(x+1)+B(x-1)$
3. 代特殊值：令 $x=1$，得 $1=2A$，$A={\displaystyle \frac{1}{2}}$；令 $x=-1$，得 $1=-2B$，$B=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$
4. 所以 ${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}})$
5. 逐项积分：${\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\displaystyle \frac{dx}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\displaystyle \frac{dx}{x+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln |x-1|-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln |x+1|$
6. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \left|{\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}\right|+C}}$

例 2（待定系数法：$\int {\displaystyle \frac{2x+3}{x^2+3x+2}}dx$）

求 $\int {\displaystyle \frac{2x+3}{x^2+3x+2}}dx$。

题型定位：有理函数 → 拆部分分式 识别特征：真分式，分子是一次式，分母可因式分解 手把手步骤：

1. 分母因式分解：$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$
2. 设拆法：${\displaystyle \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}}={\displaystyle \frac{A}{x+1}}+{\displaystyle \frac{B}{x+2}}$，通分得 $2x+3=A(x+2)+B(x+1)$
3. 代特殊值：令 $x=-1$，得 $1=A$，$A=1$；令 $x=-2$，得 $-1=-B$，$B=1$
4. 所以 ${\displaystyle \frac{2x+3}{x^2+3x+2}}={\displaystyle \frac{1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}$
5. 逐项积分：$\int {\displaystyle \frac{dx}{x+1}}+\int {\displaystyle \frac{dx}{x+2}}=\ln |x+1|+\ln |x+2|$
6. 合并对数，加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle \ln |(x+1)(x+2)|+C}}$避坑反思：分子恰好等于分母导数 $2x+3$ 时，也可以直接看出 $\int {\displaystyle \frac{(x^2+3x+2{)}^{\prime }}{x^2+3x+2}}dx=\ln |x^2+3x+2|+C$，殊途同归，答案一致。

例 3（二次因式：配方后用公式）

求 $\int {\displaystyle \frac{dx}{x^2+2x+5}}$。

题型定位：有理函数 → 二次因式配方 识别特征：分母 $\mathrm{\Delta }=4-20<0$，二次因式，拆不动 手把手步骤：

1. 配方：$x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4=(x+1{)}^2+2^2$
2. 令 $u=x+1$，$du=dx$：$\int {\displaystyle \frac{dx}{(x+1{)}^2+2^2}}=\int {\displaystyle \frac{du}{u^2+2^2}}$
3. 套公式 $\int {\displaystyle \frac{du}{u^2+a^2}}={\displaystyle \frac{1}{a}}\arctan {\displaystyle \frac{u}{a}}$（此处 $a=2$）：$={\displaystyle \frac{1}{2}}\arctan {\displaystyle \frac{u}{2}}$
4. 换回 $u=x+1$，加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\arctan {\displaystyle \frac{x+1}{2}}+C}}$避坑反思：看到"拆不动"的二次因式，先想配方，配方后必套 $\arctan$ 公式。

例 4（假分式：长除法先化真分式）

求 $\int {\displaystyle \frac{x^3}{x+1}}dx$。

题型定位：有理函数 → 假分式先化 识别特征：分子次数（3）≥ 分母次数（1），是假分式 手把手步骤：

1. 长除法：$x^3=(x+1)(x^2-x+1)-1$
2. 所以 ${\displaystyle \frac{x^3}{x+1}}=x^2-x+1-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$（假分式化成了整式 + 真分式）
3. 逐项积分：$\int x^{2}dx-\int xdx+\int 1dx-\int {\displaystyle \frac{dx}{x+1}}$
4. $={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x-\ln |x+1|$
5. 加 $C$结论：$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x-\ln |x+1|+C}}$避坑反思：假分式必须先化，不能直接拆——直接拆必出错！

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四、考场红牌警告（出题人最爱挖的 4 个坑）

坑 1：假分式不先化，直接拆

$\int {\displaystyle \frac{x^3}{x+1}}dx$ 若直接设 ${\displaystyle \frac{x^3}{x+1}}={\displaystyle \frac{A}{x+1}}$，分子次数不对，待定系数法必崩。 必须先长除法化成"整式 + 真分式"，再做拆分。

坑 2：重因式拆项漏项

分母是 $(x-1{)}^2$ 时，要拆成 ${\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{(x-1{)}^2}}$ 两项，不能只写 ${\displaystyle \frac{A}{x-1}}$（那是把它当单根处理，错了！）。三次重根就拆三项，一次不漏。

坑 3：二次因式拆成常数分子

二次因式 ${\displaystyle \frac{Mx+N}{x^2+px+q}}$ 的分子必须是一次式 $Mx+N$，不是常数 $A$。否则通分后次数对不上，解不出来。

坑 4：基本公式系数记错、忘绝对值

• $\int {\displaystyle \frac{dx}{x^2+a^2}}={\displaystyle \frac{1}{a}}\arctan {\displaystyle \frac{x}{a}}+C$，系数是 ${\displaystyle \frac{1}{a}}$，不是 1；
• $\int {\displaystyle \frac{dx}{x^2-a^2}}={\displaystyle \frac{1}{2a}}\ln \left|{\displaystyle \frac{x-a}{x+a}}\right|+C$，系数是 ${\displaystyle \frac{1}{2a}}$，别把 $2$ 丢了；
• 含 $x$ 的对数结果记得加绝对值，最后别忘了 $+C$。

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五、小结

解题流程一条龙：

$$\underset{\text{假分式先长除法}}{\underbrace{\text{看次数}}}⟶\underset{\text{一次/重因式/二次因式}}{\underbrace{\text{因式分解分母}}}⟶\underset{\text{待定系数法}}{\underbrace{\text{拆部分分式}}}⟶\underset{\text{三大基本公式}}{\underbrace{\text{逐项积分}}}$$

必背三件套：

1. 三大基本公式（$\ln$ 型两个、$\arctan$ 型一个）；
2. 重因式拆几项、二次因式分子用 $Mx+N$；
3. 假分式先化真分式，别跳步。

一句话总结：有理函数积分 = 除法化假 + 拆项 + 套公式，老老实实走流程，稳拿满分。