5.3 多元复合函数与隐函数求导法（专升本全勤版）

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一、这节课到底在讲啥？（大白话通俗比喻 + 几何直观）

本质：每条路径的偏导乘积相加

多元链式法则：$z=f(u,v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，则

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

好比"换乘地铁"：从 $z$ 到 $x$ 有两条路（经 $u$ 或经 $v$），每条路是"段内导数乘积"，两条路加起来。

隐函数偏导

$F(x,y,z)=0$ 确定隐函数，则

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

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二、考点全爆破

链式法则（多元）

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

隐函数求导（两个变量）

$F(x,y)=0$：

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$

隐函数求导（三个变量）

$F(x,y,z)=0$：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

核心记忆：隐函数求导 = 负的"偏导之比"。对哪个变量求导，就把哪个偏导放分子。

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三、核心难点：隐函数偏导的"负号"

套路：$-{\displaystyle \frac{F_x}{F_z}}$，分子分母别反

示例：由 $x^2+y^2+z^2=1$ 确定 $z=z(x,y)$，求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$。

令 $F=x^2+y^2+z^2-1$。 $F_x=2x$，$F_z=2z$。 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=-{\displaystyle \frac{2x}{2z}}=-{\displaystyle \frac{x}{z}}$。

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四、考场红牌警告（出题人最喜欢挖的 3 个坑）

坑 1：忘负号

隐函数求导公式有负号：${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=-{\displaystyle \frac{F_x}{F_z}}$。负号丢了全错。

坑 2：分子分母搞反

求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$，分子是 $F_x$（对 $x$ 的偏导），分母是 $F_z$（对 $z$ 的偏导）。求谁谁在分子。

坑 3：链式法则漏路径

多元复合有两条路径（经 $u$ 和经 $v$），每条都要算，缺一条就错。

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五、手把手真题演练（5 道手把手解析例题）

例 1（链式法则）

设 $z=e^{uv}$，$u=x^2$，$v=\sin x$，求 ${\displaystyle \frac{dz}{dx}}$。

题型定位：复合求导 → 链式 识别特征：一元内嵌 手把手步骤：

1. ${\displaystyle \frac{dz}{dx}}={\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}}{\displaystyle \frac{du}{dx}}+{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}}{\displaystyle \frac{dv}{dx}}$
2. $=v{e}^{uv}\cdot 2x+u{e}^{uv}\cdot \cos x$
3. $=e^{uv}(2xv+u\cos x)$结论：$\boxed{{\displaystyle e^{uv}(2xv+u\cos x)}}$

例 2（隐函数二元）

由 $x^2+y^2=1$ 确定 $y=y(x)$，求 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$。

题型定位：隐函数 → 二元 识别特征：两个变量 手把手步骤：

1. 令 $F=x^2+y^2-1$
2. $F_x=2x$，$F_y=2y$
3. ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{2x}{2y}}=-{\displaystyle \frac{x}{y}}$结论：$\boxed{{\displaystyle -{\displaystyle \frac{x}{y}}}}$

例 3（隐函数三元）

由 $x^2+y^2+z^2=1$ 确定 $z=z(x,y)$，求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$。

题型定位：隐函数 → 三元 识别特征：三个变量 手把手步骤：

1. 令 $F=x^2+y^2+z^2-1$
2. $F_x=2x$，$F_z=2z$
3. ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=-{\displaystyle \frac{2x}{2z}}=-{\displaystyle \frac{x}{z}}$结论：$\boxed{{\displaystyle -{\displaystyle \frac{x}{z}}}}$

例 4（链式法则多元）

设 $z=f(x^2+y^2)$，求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$。

题型定位：复合求导 → 多元链式 识别特征：抽象函数 手把手步骤：

1. 令 $u=x^2+y^2$，$z=f(u)$
2. ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=f^{\prime }(u)\cdot {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}=f^{\prime }(x^2+y^2)\cdot 2x$结论：$\boxed{{\displaystyle 2x{f}^{\prime }(x^2+y^2)}}$

例 5（隐函数含三角函数）

由 $e^{xy}+z=\sin z$ 确定 $z=z(x,y)$，求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}$。

题型定位：隐函数 → 三角 识别特征：含三角函数 手把手步骤：

1. 令 $F=e^{xy}+z-\sin z$
2. $F_x=y{e}^{xy}$，$F_z=1-\cos z$
3. ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=-{\displaystyle \frac{y{e}^{xy}}{1-\cos z}}$结论：$\boxed{{\displaystyle -{\displaystyle \frac{y{e}^{xy}}{1-\cos z}}}}$

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六、闭卷通关训练营（5 道独立练习 + 详细解析）

选择题

1. 隐函数 $F(x,y)=0$，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=$（ ） A. ${\displaystyle \frac{F_x}{F_y}}$ B. $-{\displaystyle \frac{F_x}{F_y}}$ C. ${\displaystyle \frac{F_y}{F_x}}$ D. $-{\displaystyle \frac{F_y}{F_x}}$

2. 链式法则中 $z$ 到 $x$ 的路径数（$z=f(u,v)$，$u=u(x)$，$v=v(x)$）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

填空题

3. 隐函数求导公式中的负号 ______（能/不能）丢。

4. ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}=-{\displaystyle \frac{F\mathrm{\_}}{F\mathrm{\_}}}$，分子分母分别填 ______。

解答题

5. 由 $xy+yz+zx=1$ 确定 $z=z(x,y)$，求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}$。

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答案与详细解析

1. 答案：B2. 答案：B（经 $u$ 和经 $v$ 两条路径） 3. 答案：不能4. 答案：$F_x$、$F_z$5. 答案：$-{\displaystyle \frac{x+z}{x+y}}$（$F=xy+yz+zx-1$，$F_y=x+z$，$F_z=y+x$，${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}=-{\displaystyle \frac{x+z}{x+y}}$）